07 从科学守恒到数学不变量

从科学守恒到数学不变量一种数学文化的视角大千世界在不断地变化着世间万物经历着历史的变化，承受着地域的变化，既有质的变化，更有量的变化，变化是绝对的但是，看到变化，更要把握变化，人们需要找出事物变化中保持不变的规律无论是社会科学还是自然科学，都会寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量中国在不断发展进步，一切事物都在与时俱进但是，在巨大的社会变革中，有些是不变的例如，中华民族的文化传统，民族精神，热爱祖国，崇尚和平，寻求大同，宣扬美德等等，都是不变的在改革开放的今天，在与时俱进的变化中，从实质上保持这些传统的精华，是一种文化的守恒文学中也有守恒：对仗试看王维的名句：“明月松间照，清泉石上流”， 具有自然意境之美，也有文字对仗工整之美诗句中的对仗，正是把“明月”变换到“清泉”，其中不变的是语词的性质形容词“明”对形容词“清”，名词“月”对“泉”同时不变的还有：二者都是自然景物这种保持着意境、语词的某种不变性，正是“守恒”文学通过这样的“守恒”，体现着人类的睿智和均衡之美在物理上，有能量守恒定律在保守力场里，一个运动着的物体，它的动能和位能的总和是一个不变的常量动能多了，位能就少了，反之也是这样守恒定律是力学真理，有了它，人们对运动着的客观事物有了更深的认识总之，守恒是客观规律，发现守恒是科学的胜利，认识守恒是美的享受那么，数学又是怎样和守恒连在一起的呢？从小学起，我们就在和守恒打交道数字相加和相乘的交换律就是一种守恒定律两个数交换了，次序变化了，但是它们的“和”与“积”不变：abba、abba再如分数，这些分数的形式各不相同，面貌变了，但是它们表示的大小数值没有变，都是0.5，这当然也是守恒利用分数表示的守恒规则，可以通分，进行分数的加减乘除在几何上，大家熟知图形的“全等”，它是指把一个图形通过“运动”（指移动、旋转、折叠）之后，可以和另一个图形“重合”两个全等的图形经过运动之后，它们的长度、角度、面积等等都不变这就是说，全等图形的长度、角度、面积是守恒的至于相似，也是一种守恒不过它只有角度不变，完全守恒，而长度和面积变了，不能有“相等性”的守恒了但是，还可以用“长度之比”是一个常数（相似比）来说明它的守恒特征对称是美丽的所谓对称，指相对又相称，这在人类早期文明中就有体现，易经中的太极图，何等对称！对称，又是生活中常用的概念服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹数学上，轴对称是沿对称轴翻折以后图形的形状不变，旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的形状不变这种“变化”之下的不变性质对称，本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数比如二次式X 2Y 2，现在把X变换为Y，Y变换为X，原来的式子就成了Y 2X 2，结果仍旧等于X 2Y 2，没有变化由于这个代数式经过变换之后，形式上完全和先前一样，所以把它称为对称的二次式韦达定理中的两根和、两根之积可都是对称的代数式高次方程也有韦达定理，仍然是高度对称的最后，要说到方程解方程的过程，就是将等式不断变形，使得方程的根保持不变例如，一元一次方程，就是通过合并同类项，移项，两边同乘一个数，同除一个不为零的数等方法，把方程变形为axb的形状在这个过程中，x的值没有改变，这种变形是守恒的：保持等式不变，从而x的值不变，最后得到大家熟知的求解一元二次方程，也是通过配方、因式分解的方法将方程变形，保持等式不变，x的值不变，最后得到了求根公式还须注意到，分式方程的变形，如果处理不当，就会失根，那就是不守恒了当代物理学和守恒连在一起，对称是在某种群作用下的不变性诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对他后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理杨振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作“宇称不守恒”的发现，是一种特殊的“不对称”守恒是合理的，不守恒反而成了新发现另外一个被称为“杨振宁-米尔斯规范场”的著名成果，更是研究“规范对称”的直接结果杨振宁在对称和物理学一文的最后这样写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能”对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的大自然的结构是用对称语言写成的研究各种对称中的不变量，是数学物理研究的中心课题从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学20世纪最重大的数学成就之一阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chern class），正是刻画许多流形特征的不变量一些代数不变量、几何不变量