数学人教ｂ必修1第一章1.2.1　集合之间的关系

1.2.1集合之间的关系1子集一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA.读作“A包含于B”，或“B包含A”理解子集的定义要注意以下七点：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意xA，能推出xB.例如：1,2,3N，NR，x|x为山东人x|x为中国人等(2)当集合A中存在着不是集合B的元素，我们就说A不是B的子集，记作“AB”(或BA)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)例如：A1,2,3不是B2,3,4,5,6的子集，因为集合A中的元素1不是集合B中的元素(3)任意一个集合是它本身的子集因为对于任意一个集合A，它的任意一个元素都属于集合A本身，记作AA.例如：1,51,5等(4)空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有A.(5)在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合因为若A，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素但在这两种情况下集合A都是集合B的子集(6)包含关系具有传递性：对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC.来源:(7)写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出，避免遗漏和重复【例1】已知集合M0,1，集合N0,2,1m，若MN，则实数m_.解析：MN，M0,1，1N.1m1，即m0.答案：0点技巧 有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到2真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”例如：11,2,3关于真子集注意以下四点：(1)空集是任何非空集合的真子集(2)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC.(3)任何集合都一定有子集，但是不一定有真子集，空集没有真子集一个集合的真子集的个数比子集的个数少1，即少了它本身(4)由真子集的定义可知，集合A中的任何一个元素必定是集合B中的一个元素；但集合B中的元素，至少有一个不属于A.要证明“AB”，应先证明AB，再证明B中至少有一个元素a，使得aA即可例如，已知集合Aa，b，集合Ba，b，c，d，试判断集合A，B的真包含关系显然AB，又因为B中存在一个元素c，而cA，所以AB.【例2】下列命题：空集没有子集；任一集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A，其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个解析：对于，空集是任何集合的子集，故，即不正确；对于，只有一个子集，是其自身，即不正确；对于，空集不是空集的真子集，即不正确；对于，空集是任何非空集合的真子集，即正确答案：B谈重点 对真子集的理解(1)若集合A是集合B的真子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A；(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的，若集合A不是集合B的子集，则A一定不是B的真子集；(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集3维恩图在数学中，常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图比如，中国的直辖市组成的集合为A，用维恩图表示，如图所示【例3】如图，下面对集合A，B，C，D的关系描述正确的是()ABC BDACAB DAC解析：由题图易知ACD，BD.答案：D谈重点 对Venn图的理解(1)Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制(2)Venn图也是集合的表示方法之一4集合相等一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作AB.谈重点 对集合相等的理解1ABAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据；2集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等【例41】下列集合PQ的是()AP1,4,7，Q1,4,6BPx|2x20，Q1C3P,3QDPQ解析：对于A,7P，而7Q，故PQ；对于B，Px|2x201Q；对于C，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立；对于D，仅由PQ无法确定P与Q是否相等答案：B【例42】已知A1，a，b，Ba，a2，ab，且AB，求实数a，b.分析：由AB知，集合A，B中元素相同，故可列出a，b的两个方程组，从而解出a，b的值要注意验证所得结果是否满足集合中元素的互异性解：由集合相等的定义，得或解得或解得所以由集合中元素的互异性，知a1，b0.5集合关系与其特征性质之间的关系设Ax|p(x)，Bx|q(x)，则有集合间的关系特征性质间的关系ABp(x)q(x)ABq(x)p(x)ABp(x) q(x)【例5】已知集合Ax|x1a2，aR，By|ya24a5，aR，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系解：因为x1a2(aR)，所以x1.因为ya24a5(a2)21(aR)，所以y1，故Ax|x1，By|y1，所以AB.故它们的特征性质之间的关系为x1a2(aR)ya24a5(aR)6集合间的关系判断(1)两个集合A，B间的基本关系如下，(2)判断两个集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言、图形语言来表示集合(3)对于用列举法给出的集合，只需要观察其中一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间的关系，即可得到集合间的关系；对于用描述法给出的集合，首先要分析元素的特征性质，确定了集合中的元素后，再分析一个集合中的元素与另一个集合中的元素的关系，从而确定这两个集合间的关系因此，判断集合间的关系通常转化为判断元素与元素间的关系(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系(5)两种常用的判断集合之间关系的方法：对比集合中的元素；利用数轴比较范围【例6】已知集合，则集合M，N的关系是()AMNBMNCNMDNM解析：设n2m或2m1(mZ)，则有.又，MN.答案：B【变式题】已知集合，则A，B，C满足的关系是()AABC BABC CABC DBCA解析：判断集合中元素的共性与差异，来源:，因为，而(b1)Z，即3(b1)1与3c1都表示被3除余1的数，而6a1表示被6除余1的数，所以ABC.答案：B7求已知集合的子集(或真子集)(1)写一个集合的子集时，可按子集中元素的个数多少分类写出，注意要做到不重不漏(2)n个元素的集合，其子集、真子集的个数讨论：来源:的子集只有1个a的子集有2个a，b的子集有4个a，b，c的子集有8个含有个元素的集合有个子集，有(2n1)个非空子集，有()个真子集，有()个非空真子集【例71】若集合Ax|(a1)x23x20有且仅有两个子集，则a_.解析：有且仅有两个子集，则集合A必为单元素集，否则不符合题意当a10时，符合题意；当a10时，由98(a1)0，得.综上可知，a1或.答案：1或【例72】设集合Aa，b，c，BT|TA，求集合B.解：Aa，b，c，又TA，T可能为，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，cB，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c来源:学科网8集合间的基本关系与方程的交汇问题集合间的基本关系与方程的交汇问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围解决此类问题应注意：(1)要明确表示方程解的集合中哪个字母是方程中的未知数集合x|f(x)0表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数例如集合x|mx2x230表示关于x的方程mx2x230的解集，其中x是未知数，m是常数此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中参数m的取值当m0时，该方程为x230，它是一元一次方程；当m0时，该方程mx2x230才是关于x的一元二次方程(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是AB的含义当B时，对于AB，通常要分A和A两种情况进行讨论，此时，容易忽视A的情况辨误区 对含参数的二次项系数进行讨论对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论【例8】若集合Ax|x2x60，Bx|mx10，且BA，求m的值分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x满足mx10，又字母m的范围不明确，m是否为0题目中没有明示，因此要进行分类讨论本题应弄清楚两个问题：一是集合B中有没有元素；二是集合B中有元素时，元素是什么？解：Ax|x2x603,2来源:因为BA，所以方程mx10的解可以是3或2或无解当mx10的解为3时，由3m10，得；当mx10的解为2时，由2m10，得；当mx10无解时，m0.综上可知，m的值为或或0.【变式题】已知集合A1,3，x2，Bx2,1，是否存在实数x，使得BA？若存在求出集合A，B；若不存在，说明理由解：设存在实数x，使BA，则x23或x2x2.当x23时，即x1，此时A1,3,1，不满足集合中元素的互异性，故x1.当x2x2时，即x2x20，解得x1，或x2.若x1，则A1,3,1不满足元素的互异性，故x1；若x2，则A1,3,4，B4,1，显然有BA.综上知：存在x2，使A1,3,4，B4,1，满足BA.9集合间的基本关系与不等式的交汇问题集合间的基本关系与不等式的交汇问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意：(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数集合x|f(x)0，x|f(x)0，x|f(x)0，x|f(x)0均表示关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数例如，集合x|nx30表示关于x的不等式nx30的解集，x是未知数，n是常数这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中参数n的取值当n0时，该不等式为30，不是一元一次不等式；当n0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如23和32都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m1x2m1中m12m1一定成立【例9】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA，求实数m的取值范围分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是用字母m表示的不