2016高中数学人教a必修1第三章3.2.2　函数模型的应用实例

3.2.2函数模型的应用实例1用已知函数模型解决实际问题解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题第二步：根据所给模型，列出函数关系式根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答来源:【例1】我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花经测定，古莲子出土时14C(半衰期为5 730年)的残余量占原始含量的87.9%，试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定，若14C的原始含量为Q0，则经过t年后的残余量Q与Q0之间满足QQ0ekt)解析：利用半衰期求出参数k，再根据出土的古莲子14C的残余量求出古莲子的生活年代解：已知残余量Q与Q0之间满足QQ0ekt，其中Q0是初始量，t是时间因为半衰期为5 730年，即当时，t5 730所以e5 730k，解得k0.000 12所以QQ0e0.000 12t由题目条件得87.9%，代入上式，解得t1 075故古莲子的生活年代约是1 075年前2建立函数模型解决实际问题通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型第四步：选择其中的几组数据求出函数模型第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步来源:第六步：用求得的函数模型去解释实际问题【例2】在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()AyabxBybxCybDy解析：散点图如图所示：由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A选项；此函数图象是“上升”的，因此该函数为增函数，排除C，D选项，故选择B答案：B3已知函数模型的应用题(1)常用到的函数模型：正比例函数模型：ykx(k0)；反比例函数模型：y(a0)；一次函数模型：ykxb(k0)；二次函数模型：yax2bxc(a0)；指数函数模型：ymaxb(a0，且a1，m0)；对数函数模型：ymlogaxc(m0，a0，且a1)；幂函数模型：ykxnb(k0)(2)二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，必将在高考舞台中扮演愈来愈重要的角色_【例31】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系式为当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?解：由12 000，即6，1e6，利用计算器算得402故当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s【例32】现有甲、乙两桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L水，t min后，剩余水y L满足函数关系式yaent，那么乙桶的水就是yaaent，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再经过_min，甲桶中的水只有 L解析：由题意可得5 min时，ae5n，解得那么剩余水y L满足的函数关系式为由，解得t15因此，再经过10 min后，甲桶中的水只有L答案：10点技巧 解决已知函数模型应用题的方法一般来说，若题中已给出了函数模型，通常利用条件列方程(组)，解得解析式中的参数的值，这样已知的函数模型完全确定，再将实际问题转化为求函数的函数值或最值等常见的函数问题来解4一次函数模型的应用现实生活中很多事例可以用一次函数模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理【例4】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h时火车行驶的路程解析：由“匀速行驶”可知总路程s关于时间t的函数为一次函数，注意时间t的范围限制解：因为火车匀速行驶的时间为(h)，所以0t因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s13120t故离开北京2 h时火车行驶的路程s13120233(km)5二次函数模型的应用(1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省问题(2)在应用题中能够列出函数的解析式解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件含有相等关系的关键词，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式常用的方法有：待定系数法：题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析式归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式方程法：用x，y表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出x，y的二元方程，把x看成常数，解方程得y(即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法_来源:数理化网【例51】有A，B两城相距100 km，在A，B两城之间距A城x km的D地建一核电站给这两城供电为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数0.25若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？解：(1)由题意：y0.2520x210(100x)2x10，且100x10，10x90函数的定义域为10,90(2)由二次函数知当时，y最小，因此当核电站建在距离A城 km时，供电费用最小【例52】某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围(2)当140a280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)解：(1)由题意可知，y(ax)(10.01x)0.4xax，x，即x的取值范围是区间中的自然数(2)，且140a280，当a为偶数时，x70，y取最大值来源:当a为奇数时，x70，y取最大值(尽可能少裁人，舍去)当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益6指数函数模型的应用(1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律(2)当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论(3)解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活阅历；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式的原型【例6】有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同若该元素最初的质量为50 g，经过一年后质量变为40 g(1)设x(x0)年后，这种放射性元素的质量为y g，写出y关于x的表达式；(2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)思路解析：本题属于降低率问题，建立指数函数模型解决解：(1)由题意可知每经过一年该放射性元素衰减的百分率为20%，故y50(120%)x，则y500.8x(x0)(2)由题意知500.8x25，即0.8x0.5，则lg 0.8xlg 0.5，从而可知xlg 0.8lg 0.5因此x3.1故约经过3.1年这种放射性元素的质量变为原来的一半析规律 指数函数模型的应用在实际问题中，有关增长率(减少率)问题常常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x，其中N为基础数，p为增长率(减少率)，x为时间，增长率问题取“”，减少率问题取“”7对数函数模型的应用形如ylogax(a0，且a1)的函数是对数函数，a1时，此函数为增函数；0a1时，此函数为减函数虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们要知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算_【例7】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v0，代入题给公式可得0，解得Q10故燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题给公式得v5log2815(m/s)故当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s8分段函数模型的应用由于分段函数与日常生活联系紧密，已成为考查的热点；对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”例如，某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元试写出订购量与实际出厂单价的函数关系式解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为100550个因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，当0x100时，P60，当100x550时，P600.02(x100)62，当x550时，P51，所以Pf(x)【例8】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 t时，每吨为1.80元，当用水超过4 t时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解：(1)当甲的用水量不超过4 t，即5x4时，乙的用水量也不超过4 t，y(5x3x)1.814.4x；当甲的用水量超过4 t，乙的用水量不超过4 t，即3x4且5x4时，y41.803x1.803(5x4)20.4x4.8；当甲、乙的用水量都超过4 t，即3x4时，y24x9.6故(2)由于yf(x)在各段区间上均为单调递增函数，当x时，y11.5226.4；当x时，y22.426.4；当x时，令24x9.626.4，解得x1.5，因此5x7.5，甲户用水量为7.5 t，甲应付费s141.803.5317.70(元)3x4.5，乙户用水量为4.5 t乙应付费s241.800.538.70(元)点技巧 分段函数解析式的求法分段函数的每一段的自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，从而写出函数的解析式要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值9拟合函数模型的应用(1)此类题目的解题步骤作图：根据已知数据作出散点图画散点图时，首先确定自变量和因变量，再以自变量的值为横坐标，以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点当然，如果条件允许，最好借助于计算机画出最准确的散点图选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，利用“假设”，找出比较接近的函数模型这要求会根据图象形状估计函数模型：图象是直线，那么函数模型是一次函数模型ykxb(k0)；图象是抛物线，那么函数模型是二次函数模型yax2bxc(a0)；图象位于某条垂直于y轴的直线一侧，与y轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是指数函数模型；图象位于某条垂直于x轴的直线一侧，与x轴相交，且是“上升”的或“下降”的，那么函数模型是对数函数模型根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据(2)关于“假设”问题就一般的数学建模来说，是离不开“假设”的，如果在问题的原始状态下不作任何“假设”，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了“假设”的作用主要表现在以下几个方面：进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗在“假设”时就可以设这些因素不需考虑降低解题难度经过适当的“假设”可以建立数学模型，使问题简单化，从而得到相应的解一般情况下，最先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解【例9】某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯