2017年全国高考考前复习大串讲专题1.5高考预测卷（一）理科

第 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由 ， 得 C 正确 点睛：考察集合间的关系，根据备选答案检验即可得出结论 2. 已知 是 的共轭复数，且 ，则 的虚部是（ ） A. B. C. 4 D. 答案】 C 点睛：考察复数的分类和运算 3. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据奇偶性判定得 为偶函数，所以排除 B、 C，又当 ，故选 A 点睛：考察函数图像，首先根据奇偶性排除某些答案，然后根据某些特殊点再逐一进行排除即可 . 4. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】 B 【解析】 根据线性约束条件可得变量满足的区域，对于目标函数 z，在点（ 2,0）处取得最小值，所以最小值是 2 点睛：要注意画图，切记不可直接求交点坐标往目标函数代入求解 5. 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 当 ， ，所以后不能推前，又，所以前推后成立， 6. 已知直线 过点 且与 相切于点 ，以坐标轴为对称轴的双曲线 过点 ，一条渐近线平行于 ，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：考察直线与双曲线得综合问题，先利用直线于圆的相切关系求出直线斜率，然后根据渐近线方程求解双曲方程 7. 5 名学生进行知识竞赛 、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说： “ 你们 5 人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的 ” ；对乙说： “ 你不是最后一名 ”. 根据以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 【答案】 C 点睛：考察排列组合，优先排受限制元素，然后根据元素分析法即可得出答案 8. 如图，网格纸上小正方形的 边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据三视图可得该几何体由一个圆柱和一个半球组成，故该几何体表面积为：点睛：将三视图还原为立体图形便可很容易解决，要注意面积公式的准确性 9. 中国古代算书孙子算经中有一著名的问题 “ 物不知数 ” ，原题为：今有物，不知其数 五数之剩三；七七数之剩二 来，南宋数学家里秦九韶在其著作数书九章中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为 “ 大衍求一术 ”. 下图程序框图的算法思路源于 “ 大衍求一术 ” ，执行该程序框图，若输入的 分别 20， 17，则输出的 （ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 11 【答案】 C 点睛：考察程序框图，细心逐步去计算即可 10. 已知抛物线的焦点 到准线 的距离为 ，点 与 在 的两侧， 且 ， 是抛物线上的一点，垂直 于点 且 ， 分别交 ， 于点 ，则 与 的外接圆半径之比为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】 B 【解析】 由题得如图 ， ， ，有正弦定理可得， 得外接圆半径之比为 ,故选 B 点睛：考察正弦定理和外接圆，做此类型得题多化草图分析理解题意 11. 已知函数 ，若 ，则 的最小值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】 B 12. 已知数列 满足 ，则下列结论正确的是（ ） A. 只有有限个正整数 使得 B. 只有有限个正整数 使得 C. 数列 是递增数列 D. 数列 是递减数列 【答案】 D 点睛：考察数列的创新题，本题困难，根据数列的性质一一分析答案即可 第 卷（共 90 分） 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13. 设向量 ，且 的夹角为 ，则实数 _ 【答案】 解析】 由题得： 得 点睛：考察向量的数量公式，熟记公式即可 14. 用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是_ 【答案】 6 【解析】 设正三棱柱的底边长为 ，高为 y,则 ，由基本不等式可得故三棱柱的侧面积最大值为 6 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 15. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则曲线在 处的切线方程是 _ 【答案】 【解析】 因为 ，所以函数关于点（ 1,1）对称， 时，取点 ，关于（ 1,1）对称点是 代入 时， ，可得 ， ， ，令所以切线方程为 点睛：考察导数的几何意义切线方程的应用 16. 在三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， ，二面角 的大小为 120 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 _ 【答案】 点睛：画出草图分析几何关系即可得出结论 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知数列 的前 项和 . 是公差不为 0 的等差数列，其前三项和为 3，且 是的等比中项 . （ 1）求 ； （ 2）若 ，求实数 的取值范围 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1）因为 ， 所以当 时， ，解得 ， 当 时， ， - ，得 ，即 ，所以 ， 由数列 的前三项和为 3，得 ，所以 ， 设数列 的公差为 ，则 ， 又因为 ，所以 ， 解得 或 （舍去），所以 ； （ 2）由（ 1），可知， ，从而 ， 令 ， 即 ， 2 ，得 ， - ，得 ， 即 ， 故题设不等式可化为 ，（ *） 点睛：考察数列求通项的方及等差数列的性质，要多总结数列的求通项的题型，同时数列求和在考试中主要以裂项相消和错位相减两种方法为主，要熟练掌握 18. 如图，有一码头 和三个岛屿 ， ， . （ 1）求 两个岛屿间的距离； （ 2）某游船拟载游客从码头 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 能使得总航程最短？求出最短航程 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1）在 中， ， 由正弦定理得， ，即 ， 解得 ， 又因为在 中， ，所以 ， 所以 ，从而 ， 即 两个岛屿间的距离为 ； 点睛：考察正余弦定理的实际运用 19. 如图，三棱柱 中， ， ， 分别为棱 的中点 . （ 1）在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证明 . （ 2）若侧面 侧面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 . 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 【解析】 （ 1）如图，在平面 内，过点 作 交 于点 ，连结 ，在 中，作交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，则 为所求作直线 . 为 的中点， 点 的坐标为 ， . ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ， 令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 . 点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性 . 20. 已知 ， 内切 于点 是两圆公切线 上异于 的一点，直线 切 于点 ， 切 于点 ，且 均不与 重合，直线 相交于点 . （ 1）求 的轨迹 的方程； （ 2）若直线 与 轴不垂直，它与 的另一个交点为 ， 是点 关于 轴的对称点，求证：直线 过定点 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） 因为 内切于 于 ，所以 ，解得 ， 所以 的方程为： ， 因为直线 分别切 于 ， 所以 ， 连结 ， 在 与 中， ， 所以 ， 所以 ， 所以点 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（除去长轴端点）， 所以 的轨迹 的方程为 . 点睛：考察椭圆得定义，求轨迹方程先要熟悉三大曲线的定义，根据定义去研究几何关系从而确定轨迹写出轨迹方程，在直线与椭圆得综合题型中要注意一般解法：联立韦达定理先写出来 21. 已知函数 . （ 1）若 不存在极值点，求 的取值范围； （ 2）若 ，证明： . 【答案】 （ 1） （ 2）详见解析 【解析】 （ 1） 的定义域为 ，且 ， 设 ，则 . 当 ，即 时， ，所以 在 上单调递增； 又 ， ，即 ， 所以 在 上恰有一个零点 ， 且当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 是 的极小值点，不合题意 . （ 2）因为 ， ，所以 ， 要证明 ，只需证明 ， 当 时，因为 ， 所以 成立； 当 时，设 ， 则 ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ， 点睛：考察导数的综合运用，注意分类讨论思想和不等式证明的分离参数法和转化为恒成立问题求最值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 ，曲线 轴为 轴正半轴建立直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） . （ 1）求 的直角坐标方程； （ 2） 与 交于不同四点，这四点在 上的排列顺次为 ，求 的值 . 【答案】 （ 1） ， （ 2） 【解析】 （ 1）因为 ， 由 得 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 ， 由 得 ， 所以曲线 的直角坐标方程为： . （ 2） 不妨设四个交点自下而上依次为 ，它们对应的参数分别为 . 把 代入 ， 得 ，即 ，