2017年全国高考数学考前复习大串讲专题2.6高考预测卷（二）文(含答案)

第 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，集合 ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为全集 ， ，所以 ， 所以 ，故选 A. 2. 已知 为虚数单位， ，若 为纯虚数，则复数 的模等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析： ， . 考点：复数的概念 3. 若 ，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 考点：不等式 4. 向量 ， 均为非零向量， ， ，则 ， 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， ， ， ， ，设 与 的夹角为 ， 则由两个向量的夹角公式得 ， ，故选 B. 5. 各项为正的等比数列 中，与 的等比中项为 ，则 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】 B 【解析】试题分析：由题意可知 考点：等比数列性质 6. 已知实数 满足 ，如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】 B 考点：线性规划 . 【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型 1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（ 2）将目标函数变形为；（ 3）作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（ 4）求出最优解：将（ 3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大（小）值 . 7. 一个几何体三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此几何体是底面积是 的三棱锥，与底面是边长为 2 的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为 ， ，故选 B. 8. 如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 考点：算法流程图的识读和理解 9. 定义在 上的偶函数 满足： ，在区间 与 上分别递增和递减，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 偶函数 （ ）满足 ， ， 且 在区间 与 上分别递增和递减， 求 即等价于求函数在第一、三象限图形 的取值范围 即 函数图象位于第三象限， 函数图象位于第一象限 综上说述： 的解集为 ，故选 D. 点睛：本题考查了利用函数的奇偶性和单调性做出函数图象，并利用数形结合求解；利用偶函数关于 轴对称的性质并结合题中给出函数的单 调区间画出函数 的图象，再由 得到函数在第一、三象限图形 的取值范围 . 10. 设点 在双曲线 的右支上，双曲线的左、右焦点分别为 ，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 点睛：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题；由双曲线的定义可得 ，再根据点 在双曲线的右支上，可得 ，得到关于 ，的齐次不等式，从而求得此双曲线的离心率的取值范围 . 11. 三棱锥 中， ， ， 平面 ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：设 外接圆圆心为 ,半径为 ,由余弦定理的推论有 ,所以 ,由 有 ,设外接球的球心为 ,半径为 ,则 ,所以 ,故外接球表面积为 ,选 D. 考点： 余弦定理； 12. 一矩形的一边在 轴上，另两个顶点在函数 （ ）的图象上，如图，则此矩形绕 轴旋转而成的几何体体积的最大值是（ ） A. B 砑 C. D. 【答案】 A 考点：导数在实际生活中的运用 【易错点晴】本题重在考查导数在实际生活中的运用 先依据题设条件构建目标函数 ,进而确定函数的定义域 ,最后运用导数使得问题巧妙获解 解答本题的关键是建构目标函数 ,目标函数中的变量是两个 ,然后利用纵坐标相等化为一个变量 ,进而借助换元法将变量进一步化为可导函数的变量 ,最后借助导数求出函数的最大值是本题获解 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见 “ 行行出状元 ” ，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为 2圆，中间有边长为 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 _ 【答案】 【解析】试题分析：正方形孔的面积为 ，圆的面积为 考点：几何概型 14. 已知 ，则 的值是 _ 【答案】 15. 数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 _ 【答案】 【解析】 ， 故答案为 . 16. 已知点 ，抛物线 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线相交于 点，若 ，则 的值等于 _ 【答案】 4 【解析】 依题意 点的坐标为 ，设 在准线上的射影为 ， 由抛物线的定义知 ， ， 则 ， ,得 ，故答案为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知函数 . （ 1）当 时，求 的值域； （ 2）若 的内角 的对边分别为 ，且满足 ， ，求 的值 . 【答案】 （ 1） ;（ 2） . 18. 在某大学自主招生考试中，所有选报 类志向的考生全部参加了 “ 数学与逻辑 ” 和 “ 阅读与表达 ” 两个科目的考试，成绩分为 五个等级，某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中 “ 数学与逻辑 ” 科目的成绩为 的考生有 10 人 . （ 1）求该考场考生中 “ 阅读与表达 ” 科目中成绩为 的人数； （ 2）若等级 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分，求该考场考生 “ 数学与逻辑 ”科目的平均分； （ 3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 ，在至少一科成绩为 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 的概率 . 【答案】 （ 1） ;（ 2） ;（ 3） . （ 2）该考场考生 “ 数学与逻辑 ” 科目的平均分为： . （ 3）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为 ，又恰有两人的两科成绩等级均为 ，所以还有 2 人只有一个科目得分为 . 设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩都是 的同学，则在至少一科成绩等级为 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，一共有 6个基本事件 . 设 “ 随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 ” 为事件 ，所以事件 中包含的基本事件有 1个，则 . 19. 如图，四棱锥 ，侧面 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面 是的菱形， 为 的中点 . （ 1）求证： ； （ 2）求点 到平面 的距离 . 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） . 证法二：连结 ，依题意可知 均为正三角形， 又 为 的中点，所以 ， 又 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 （ 2）点 到平面 的距离即点 到平面 的距离， 由（ 1）可知 ，又平面 平面 ， 平面 平面 ？平面 ， 所以 平面 ，即 为三棱锥 的体高在 中， ， 在 中， ，边 上的高 ， 所以 的面积 ，设点 到平面 的距离为 ， 由 得 ， 又 ， 所以 ，解得 ， 所以点 到平面 的距离为 考点：直线与平面垂直的判定定理；点到面的距离 . 【易错点睛】破解线面垂直关系的技巧：（ 1）解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基 础（ 2）由于 “ 线线垂直 ”“ 线面垂直 ”“ 面面垂直 ” 之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 20. 如图，在平面直角坐标系 中，已知 是椭圆 上的一点，从原点 向圆作两条切线，分别交椭圆于 两点 . （ 1）若 点在第一象限，且直线 、 互相垂直，求圆 的方程； （ 2）若直线 ， 的斜率存在，并记为 ，求 的值 . 【答案】 （ 1）圆 ： ；（ 2） . 又点 在椭圆 上，所以 联立 ，解得 ， 所以所求圆 的方程为： . （ 2）因为直线 和 都与圆 相切， 所以 ， ， 化简得 ， ， 所以 是方程 的两个不相等的实数根，由韦达定理得， 因为点 在椭圆 上，所以 ， 即 ， 所以 . 21. 已知函数 . （ 1）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，函数 有零点，求实数 的最大值 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 0. 【解析】 试题分析：（ 1） 在 上为增函数，等价于 在上恒成立，分类讨论，当 时，由函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立，故只能 ，所以 在 上恒成立，构造函数，要使 在 上恒成立，只要即可，从而可求实数 的取值范围；（ 2）当 时，方程 有实根，等价于 在 上有解，即求 的值域构造（ ），证明 在 上为增函数，在 上为减函数，即可得出结论 . （ 2）当 时，函数 有零点等价于方程： 有实根， 可化为： . 等价于 在 上有解， 即求函数 的值域， 函数 ， 令函数 ，则 ， 当 时， ，从而函数 在 上为增函数， 当 时， ，从而函数 在 上为减函数， 因此 ，而 ， ， 故当 时， 取得最大值 0. 点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，构建函数是关键，也是难点； 考查恒成立问题，正确分离参数是关键 ，也是常用的一种手段 通过分离参数可转化为或 恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求出或 即得解 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 . （ 1）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； （ 2）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的面积 . 【答案】 （ 1） ： ， ： ；（ 2） . 考点：坐标系与参数方程 【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消