平行四边形的识别及同步练习

学科：数学教学内容：平行四边形的识别 学习目标 1掌握平行四边形识别的四种方法2能综合运用平行四边形的性质和识别的方法去解决一些实际问题学法指导1平行四边形的定义是识别平行四边形的最基本的方法，要把它和四种识别方法加在一起灵活地运用2通过定理的证明，使我们逐步学习分别从题设或结论出发，运用综合法和分析法寻找几何证明思路3判断一个命题是否正确，可采用反例法，即举出一个符合题设，但不符合结论的例子基础知识讲解平行四边形的识别方法1两组对角分别相等的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3对角线互相平分的四边形是平行四边形4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形5除以上四种识别方法外，还有一种最基本的识别方法，即两组对边分别平行的四边形为平行四边形，这种方法也叫定义法重点难点重点：利用平行四边形的识别方法来判断一个四边形是否是平行四边形难点：五种识别方法的选择是本章的难点，综合应用平行四边形的性质和识别方法来解决实际问题也是本章的难点易错误区分析1利用本节内容解题时常犯“错用识别方法”的错误例如：已知如图12-1-19，所示ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OFBC于F求证：四边形AECF是平行四边形错证：在AOE和COF中OEAD，OFBC AEO=CFO=90四边形ABCD为平行四边形OAOC，ADBC EACACFAOECOF（AAS） OF=OE四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OFOE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线正确证：在AOE和COF中OEAD OFBC AEOCFO90四边形ABCD为平行四边形OAOC，ADBC EAC=ACFAOECOF（AAS） OFOE又ADBC，OEAD，OFBCE、O、F三点共线四边形AECF是平行四边形例如：判断命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是否正确错解：这个命题正确分析：错解的原因主要是与一组对边平行且相等的识别方法相混淆正确解法：这个命题不正确，例如：如图12-1-20，作一个ABCD（其中A是锐角）以C为圆心，以CB为半径画弧交AB的延长线于点E，连结CE，则有CDAE，ADCE，显然四边形AECD虽满足命题的条件，但它不是平形四边形典型例题例1已知如图12-1-21所示，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，M、N是AB、CD上的点，且BMDN.求证：四边形MENF是平行四边形分析：由平行四边形的识别方法按照已知条件应从边入手，由已知及平行四边形可知AMECNF，则有MENF，同理AMFCNE，则有MFNE证明：在ABCD中，ABCD 12又BMDN AM=CN且AE=CF AMECNF（SAS）MEFN 同理可证AMFCNE MFNE四边形MENF是平行四边形例2如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单证明：在RtABC中 ACBC B=45又E、D分别为AC、BC的中点ECDC CEDCDE45AEFCED45 AEF+AED=CED+AED180F、E、D在一条直线上 EAFC90 AFCD又AFCDDB 四边形AFDB是平行四边形，且B45例3如图12-1-23，在ABCD的对角线上取两点E、F，且BFDE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分证明方法（一）在ABF和CDE中，ABCD，BFDE，ABFCDEABFCDE AFCE同理可证AECF，故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在ABCD中，OAOC，OBODBFDE OE=OF 四边形AECF为平行四边形例4如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形例5如图12-1-24，在四边形ABCD中，ADBC，AD24cm，AB8cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，t为何值时四边形PQCD为平行四边形分析：要使四边形PQCD为平行四边形，因为PDQC，只要满足PD=QC即可解：ADBC 只要PDQC时，四边形PQCD就是平行四边形此时有24-t3t解得t6 当t6时，四边形PQCD为平行四边形创新思维例1如图12-1-25，ABC是边长为a的等边三角形，P是ABC内的任意一点，过点P作EFAB交AC，BC于点E、F，作GHBC交AB，AC于点G、H，作MNAC交AB、BC于M、N，请你猜想EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化，并证明你的结论分析：把线段EF、MN、GH通过平行四边形或等边三角形，利用相等的线段转移到同一条边AB上解：EF+GH+MN2a，EF+GH+MN的值不随P的位置改变而变化证明：ABC是等边三角形 ABC60GHBC AGHB60，AHGC60AGH是等边三角形GH=AG=AM+MC（l）同理可证：BMN是等边三角形 MNMBMG+GB（2）MNAC，EFAB四边形AMPE是平行四边形 PEAM同理可证四边形BFPG是平行四边形 PFGBEFPE+PFAM+GB（3）（l）+（2）+（3）得EF+GH+MNAM+GB+MG+GB+AM+MG2（AM+MG+GB）2AB2a例2已知如图12-1-26所示，ABC中，AB9，AC10，试求BC边上中线AD的取值范围分析：求线段的取值范围只有把已知线段和所求线段平移到一个三角形中，由三角形的三边关系来确定线段的取值范围，由题意可知：根据已知三角形ABC求作一个平行四边形即可求得解：如图所示延长AD至E，使ADDE，连结BE、CEADDE BDDC四边形ABEC为平行四边形 ACBE=10在ABE中，AB9，BE1010-9AE1O+9，即1AE190.5AD95例3如图12-1-27，在ABCD中MNAC且交DA延长线于M，交DC延长线于N，交AB于P，交BC于Q（1）请指出图中平行四边形的个数（2）图中MP与NQ能相等吗？为什么？分析：由ADBC可得AMQC同理可得PANC解：（1）有3个平行四边形即AMQC，APNC，ABCD（2）MP与NQ能相等因为MQAC PNAC所以MQPN因为MPMQ-PQ QNPN-PQ所以MPNQ中考练兵1不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）AABCD，ADBCBABCD，ABCDCABCD，ADBCDABCD，ADBC解：由平行四边形的识别方法可得A、B、D都能判定四边形ABCD是平行四边形，因为有一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平形四边形，所以选C2已知四边形ABCD中AC与BD交于点0，如果只给出条件“ABCD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下4种说法，其中说法正确的是（ ）如果再加上条件“BCAD”那么四边形ABCD一定是平行四边形如果再加上条件“BADBCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形如果再加上条件“AOCO”那么四边形ABCD一定是平行四边形如果再加上条件“DBA=CA B”，则四边形ABCD一定是平行四边形A和B和C和D和分析：关于由ABCD知ABDCDB，如果用ADBC及DBBD一般地不能得到ABDCDB或ACBCAD关于由ABDC知ABDCDB，如果BADBCD，再用BDDB可得ABDCDB，于是ABDC，进而ABDC关于由ABCD知OABOCD，OBAODC，若AOOC则AOBCOD于是ABDC，即ABDC，故可得ABCD关于由DBA=CAB知OAOB，又ABCD知DBA=BDC，同理也会有OCOD且OA不一定等于OC，如图12-1-28所示就是一个反例解：综合上述知正确，故选C随堂演练一、填空题1过ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是 .2延长ABC的中线AD到E，使DEAD 则四边形ABEC是 四边形3在四边形ABCD中A50欲使四边形为平行四边形，则B= ，C ，D .4在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是 四边形5如图12-1-29，在ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有 个平行四边形6在ABCD中连结BD作AEBD，CFBD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q在线段BD上，且BPDQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除ABCD外）有 个，它们是 .二、选择题1能判断四边形是平行四边形的条件是（ ）A一组对边平行，另一组对边相等B一组对边平行，一组对角相等C一组对边平行，一组邻角互补D一组对边相等，一组邻角相等2能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）A已知平行四边形的两邻边B已知平行四边形的两邻角C已知平形四边形的两对角线D已知平行四边形的两边及夹角3平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（ ）A20和18B40和50C60和30D32和504如图12-1-30所示，已知ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有（ ）个平行四边形A5个B6个C7个D10个5能判定四边形为平行四边形的是（ ）A一组对角相等B两条对角线互相垂直C两条对角线互相平分D一对邻角互补6以下结论正确的是（ ）A对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形B一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形C一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形D对角线相等的四边形是平行四边形7在ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（ ）AAE、CF分别平分DAB、BCDBAE，CF使BEACFDCE、F分别是BC、AD的中点DBEBC，AFAD8ABCD对角线交点为O，OBC的周长为59cm，且AD28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（ ）A12cm和9cmB24cm和38cmC85cm和225cmD155cm和295cm三、解答题1如图12-1-31所示，在ABCD中，AE平分BAD，CF平分BCD，四边形AECF是平行四边形吗？2如图12-1-32所示，四边形ABCD中BD，12，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？3如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若ECDFAB，ECAF，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？4如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，DBC90，FDAD于D，求证四边形ABCD是平行四边形5如图12-1-35所示，ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MDAB，NEAC求证：BDDECE参考答案一、填空题1平行四边形 点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2平行四边形3130，50，1304平行四边形 点拨：由题意可得两组对边分别平行54个 点拨：ABCD，ADFE，EFCB，EDFB63个 AECF，APCQ，AMCN二、选择题1B 2D 3A 4D 5C 6C 7B 8B三、解答题1解：四边形AECF是平行四边形点拨：由ABCD知BCDBAD，又AE平分BAD，CF平分BCD，故EAFECF，又AFEC，故AEC+EAF18O，即AEC+ECF18O，所以AECF，故四边形AECF是平行四边形2解：四边形ABC