高中数学 2.3 变量间的相关关系素材2 新人教a版必修3

变量间的相关性知识导学 一、课标要求 1通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 二、要点清点（一）变量间的相关关系 1变量间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时我们称两个变量具有相关关系。 注：相关关系与函数关系的异同点： （1）相同点：两者均是指两个变量的关系。 （2）不同点：函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系。函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 2散点图 把两个变量作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点，这样的图形叫做散点图。 注：散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关关系；如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系。 3正相关、负相关 具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。 （二）两个变量的线性相关 1线性相关、回归直线 如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条，我们称之为回归直线。 2用最小二乘法求回归直线方程。 记回归直线方程为，叫做回归系数。利用最小二乘法可以求得回归系数： ， 。 其中，。 注：（1）我们知道，回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是离差的平方和，即总离差，这样，回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法。 （2）利用最小二乘法求回归系数，时，是将离差的平方和转化为关于或的二次函数，利用二次函数知识求得的。 3求回归直线方程的步骤 （1）作出给出数据的散点图，并直观地判断是否是线性相关的； （2）求出，； （3）求出，； （4）求出和，写出回归直线方程。 4回归直线方程的应用 （1）描述两变量之间的依存关系：利用回归直线方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系；（2）利用回归方程进行预测：把预报因子（即自变量）代入回归方程对预报量（即因变量）进行估计，即可得到个体值的容许区间。 （3）利用回归方程进行统计控制规定值的变化，通过控制的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中的浓度。5利用散点图和回归直线方程的注意事项 （1）做回归分析要有实际意义； （2）回归分析前，最好先作出散点图，以判断是否是线性相关关系； （3）回归直线不要外延。 三、范例剖析 例1 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是（ ）小麦产量与施肥值球的体积与表面积蛋鸭产蛋个数与饲养天数甘蔗的含糖量与生长期的日照天数 分析：设球的半径为，则球的体积为，球的表面积，显然这两者不是线性关系。 解析： 评注：线性关系是一种函数关系，因此具有确定性。本题中的两者之间有相关关系，但不具有线性关系。例2 要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号12345678910入学成绩63674588817152995876期末成绩65785282928973985675（1）若变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；（2）若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩。 解析：（1）， 。 ， 所求线性回归直线方程为。（2）某学生的入学成绩为80分，代入上式可求得，即这个学生期末成绩的预测值为84分。评注：知道与呈线性相关关系，无须进行相关性检验。否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。例3 下表是我国居民生活污水排放量的一组数据：年份19951996199719981999200020012002排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.3试估计1996年我国居民生活污水的排放量，并预测2004年生活污水的排放量（单位：）。 分析：要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水的排放量的相关关系表达出来，可先剔除1996年，样本容量为7。 解析：设1995年为第1年，2002年为第8年，列表，用科学计算器进行有关计算：12345671345678151189.1194.8203.8220.9227.7232.31511019， ， 。 所求回归直线方程为，从而当时，；当时，。 1996年污水排放量估计为，2004年污水排放量估计为。 评注：灵活选取数据可以简化运算，当只要求分析两变量相关关系用其解决实际问题时，可选取恰当的变量进行分析。 例3 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：房屋面积11511080135105销售价格（万元）24.818.429.222（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150时的销售价格。分析：将表中各对数据在平面直角坐标系中描点，便得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，即得散点图；按照求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程。解析：（1）数据对应的散点图如下图所示： （