晶格振动【PPT课件】

第三章 晶格振动 子质量为 m，间距为 果原子的振动 位移为 n a c o （ 1）格波的色散关系； （ 2）每个原子对时间平均的总能量。 解： 11 11 (1) 式中， ,3,2,1 为恢复力常数。 个原子的运动方程可写成 （ 1） 在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第 n 依题设，原子的振动位移可表示为 a (2) 将 (2)式代入 (1)式，得 n 1co n c o o c o o s s i ns i nc o sc o s 因此 1co a n 2i s a 故得格波的色散关系为 2i 2（ 2） 原子链上总能量可写为 21其中求和遍及链上的所有原子。 n a n c o s c o n 22m 41 c os a co s a 41E 222n c o s a 4122 又因为一维单原子链的色散关系为 2i 2 或者 c os 2 所以 c os 21 2 22 21 得平均总能量 证明：在由两种不同质量 M、 m(Mm)的原子所组成的一维 复式格子中，如果波矢 (距 )，则在声学支上，质量为 光学 支上，质量为 证明：如图所示，设质量为 2n+2， 2n+3， . 各点；设质量为 2n， 2n+2， 各点。 a m M 2n 2n+1 2n+2 2n+3 1222122 1212 2 设试探解为 2 和 式中， 为角频率； 2q 为波矢。 12122212 12222 2 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为 将试探解代入运动方程有 i 2 i 2 经整理变成 02c (1) 要 A、 程 (1)的系数行列式必须等于零， 从中解得 21222 4c o s2 (2) 式中的“ +”“”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支 格波。上式表明， 是 边界值，即 141 。当 1 时，从 (2)式得 ,2,22121 将 和 依次代入 (1)式，得到两种原子的振幅比分别为 光学支： 声学支： 1c 因为 ,01,01 当 时， 由上式得到 0, 由此可见，当波矢 学支中轻原子保持不动 (A=0)，光学支中重原子也保持不动 (B=0)。 一维复式格子，原子质量都为 m,晶格常数为 a，任一个原子与最近邻原子的间距为 b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为 和 ，试列出原子的运动方程并求出色散关系。 1 2 3 n n+1 n+2 a 解： 此题为一维双原子链。 设第 2u,u,u,u 2n1,n 个原子的 位移分别为 。 第 1n 与第 1n 个原子属 于同一原子，第 n 与第 2n 个原子属于同一原子， 于是 第 n 和第 1n 原子受的力分别为 1 其运动方程分别为 1 设格波的解分别为 tq n tq n i 2i 整理得 0 i 021i 由于 不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即 i 0m 解上式可得 212221212222122i 21222121212i 11在两种独立的格波。 声学格波的色散关系为 21222121212i 11 21222121212i 11原子质量分别为 两种原子相间排列组成的一维复式格子，晶格常数为 ，任一个原子与最近邻原子的间距为 ，恢复力常数为 ，与次近邻原子间的恢复力常数 ，试求 Mm, 2（ 1）格波的色散关系； （ 2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 解： （ 1）只考虑最近邻原子的相互作用 12 2 得 n a n a 将 的值代回方程得到色散关系 12x,x 2i 2221212212（ 2） （ a）当上式取 +号时为光学波 c os 221212212o 221212212m i n 当 时： 1c os 当 时： 1c os 21212 m a x o m （ b）当取 - 号时为声学波 c os 221212212 时： 1c os 221212212m a x 当 时： 1c os 0 m i n A 明由 单位频率间隔内的振动模式数为 2122m 2证明： 一维单原子链只有一支格波 2i i m据模式密度的一般表示式 s 1） 因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度 2L ，且只有一支 格波。 所以由（ 1）式得 21222得 2122 设有一维连续介质，介质的弹性模量为 E，线密度为 试建立一维波动方程并求弹性波传播的相速度。 ， 解：设有一坐标为 x与 x+ t 时刻 u=u(x,t), x+u+是，应变为 以 定义， 式中 用在介质元 2设介质的线密度为 ，介质元的质量为 ，则有 2222 即 2222 (1) 这就是连续介质的波动方程，其解为 0,式中， 为介质弹性波的角频率； 1q 为波矢； 是波长。 将 u(x,t)代入 (1)式，得到 ,22 即 2因此，一维介质弹性波传播的相速度为 明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成 弹性波方程 22222解： 如果只计及近邻原子间的相互作用，第 为 因为 所以第 ni 在长波近似下， 2i q a i q q 运动方程又化为 （ 1） 在长波近似下，当 1l i m i q l 上式说明， 在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子 以相同的振幅、相同的位相做集体运动。 因此（ 1）式可统一写成 第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些 原子的整体的运动所构成。 这些原子偏离平衡位置的位移 ，即是宏观上的质点位移 u 。 从宏观上看，原子的位置 可视为准连续的，原子的分离 可视为连续坐标 x，即 于是 22（ 2）式化为 22222其中 是用微观参数表示的弹性波的波速。 设有一个由相同原子组成的二维正方点阵，原子质量为 M，晶格常数为 a，取近邻原子间的恢复力系数为 ，设原子只作垂直表面的横向振动。试求 2)长波极限下格波的传播速度。 1)横向晶格振动的色散关系； ,11 解： 1)设 垂直于晶格平面的位移，如图所示。当只考虑最近邻原子间的 互相作用时，由于（ l+1， m）原子对它的作用力 代表第（ l， m）个原子（第 第（ l 1， m）原子对它的作用力 1,2 而 12 （ l， m 1）原子对（ l， m）原子的 3 4l， m）个原子所受的力 ，于是 同样处理（ l， m+1）原子和 作用力 a a ml,m1,l m1,l 11把 (1)式代入运动方程 ,(2) 并把试探解 yx m a ql a 0, 1,141 1,1, 1,1,1,1 22 据此得色散关系 yx c o sc o (3) 2)长波极限下， yx 都是小量 2xx os 2yy os 同时代入，消去公因子后得 42 i a qi a qi a qi a q yx co 22222 所以 格波的传播速度 可见，在长波极限下，格波的传播速度与波矢 (3)式变为 22221121122yx 一维单原子链，原子质量为 m，原子间距为 a。计及所有原 子间的长程作用，且最近邻、 次近邻、次次近邻 原子间 恢复力 常数依次为 , 3211）求格波的色散关系； 2）若恢复力常数取 a i n式中， 象：当 解： 1)设第 n+p和 原子的位移分别记为 和 ,3,2,1p ，则第 n+p 为常数， 证明“科恩 ( 。 和第 n 链上每个原子与第 第 方程应为 0 02p 设试探解为 n a 代入运动方程可得 02 2pi p a qi p a qp 02c o 格波的色散关系为 02 co p a 0221s i (1) 2)若 a i n代入 (1)式得 020221s i ns i 00221c i ns i 0时，由上式得到 0022s i a (2) 因为 0s i p a q ， (2)式的求和对无穷原子系列进行，故 必有 02 或 对 0处有一条垂直的切线，即 曲线在 0q 点处扭折，这就是“科恩反常”现象。 设晶格中每个振子的零点振动能为 试用德拜模型 求晶体的零点振动能。 解： d 9 23D d h 21E 000 42 9 N 2 9 N h 4 89 所以 已知一个频率为 i的简谐振动在温度 121 Tk 试用爱因斯坦模型求出由 动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。 解：由 立晶格 振动方式数也等于 3N，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总 能量便等于这 3 21依照爱因斯坦模型， 是上式变为 12131213123 ) ； 式中 BE k是爱因斯坦 特征温度。 在高温极限下， x1， xx 1 ，从 (1)式得 xB 试用德拜模型求 解上题。 解：按照德拜模型，频率在 d 之间的独立振动方式 数等于 1) 式中 D 是德拜截止频率。因为单原子晶体晶格振动的总能量 21当 波的频率分布是准连续的，故上式可用下列 积分计算： B 0 121B 0333 1219， 令 （ D是德拜特征温度）将 上式化简为 03331292) 对于高温极限， x1， (2)式中的积分上限 T D，而且 11112)式中的积分变为 1 03031 nT (2)式求得 15989 43 上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度的 4次方 成正比。 求频率在 到 d 间隔内的声子数，并写出固体振动 能的表达式。 解：按照德拜理论，在频率 间隔内的独立振动方式 数为 中， 到热平衡时， 频率为 时平均激发的声子数 11 因此，在频率 间隔内的声子数为 B 1911 23 每个声子的能量等于 v d 19 33 由此求得晶体总振动能（略去零点能） 9 （ BD 是德拜温度）。 上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下， 它有如下简单的结果： 在高温极限下： 入上式，得到晶体在高温极限下的总振动能 3低温极限下的总振动能 3453对于 知恢复力常数 ，试分别求出 已知 y 解：因为一维双原子晶体的色散关系为 21222 2c o s2 在本题设下，式中 m、 a、 括号 内取“ +”号时代表光学支 ，取“”号时代表声学支 。从 上式得知，光学支的最大频率是 21m a 由于 ， ，因而得 21244m a x sr a 而光学支的最小频率是 212821m i n m sr a 声学支的最大频率是 212821m a x M sr a （ 1） （ 2）长声学波的波速； （ 3） 已知 对 于 体，测 知 其 密 度 ，正 负 离子 的 平 衡 距 离 ，光 学 支 格 波 的 最 高 频 率为 。试以一维双原子晶链模型计算： 318.2 a sr a a x 解： (1)对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为 21m a (1) 式中， 为原子间的恢复力常数； m、 量。对于 知 ， ，平衡时， 和 的距离为 ， 。因此，从 (1)式可得其恢复力常数 4 sr a a x m 262 y (2)对于声学波，在长波极限下，其传播速度为 212所以 (3)有弹性波理论知道，波速 E式中， 为介质密度。 211252 y ， 318.2 故有 已知 设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互 斥力而达到平衡。离子的质量为 ，平衡时的离子 间距为 。试求纵向格波的最高频率和最大波速。 解： ,3,2,1 n 2n 2如图所示，离子的坐标由 于热 运动， ,3,2,1n。 库仑定律，两粒子间的互相斥力为 222422式中， 212212 44 2122122 4441) 因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将 (1)式 括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项 它们离开平衡位置的位移记为 根据 相互作用，运动方程可表述为 如果只考虑相邻离子间的 则有 212212211114 2121221214 11328令试探解为 n a （ 2） 式中， A、 、 频率和波矢。 式得出 i a qi a i 32322即 i i 2m a 式中 为格波的最高角频率： 2122132m 3） 把上式代入 (2) 把下列数据代入： 282 0105 724 得到 sr a 最大波速对应于长波极限下的波速。 此时 (3)式给出 a 于是，得到最大波速为 m a xm a xm a 试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数 是一 个常数。 证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为 1s i 2 (1) 式中， 为晶链近邻原子间的恢复力常数； 量； 因而 ，可以把 (1)式写成 矢 ，且 22 （ 设晶链包含 1s i 2 (2) 此处 1s i 是一个与 率 对原子间距 常数 相关联的。 对于一维单原子链，格林爱森常数 (3) 由 (2)式得 (3)式代入即得 2 (4) 注意到恢复力常数 是晶格原子互作用能 即 d 22因而 故 (4)式可写作 2因为对于已知晶格， U 和 U 是确定的数，因此 也是确定 的常数。此外， 的出现是由于互作用能中的非谐项引起的， 如果晶体做严格的谐振动，则 0U ，必有 0 。 证明：固体的体胀系数 ，体积 间 满足格林爱森关系： 。式中， 固体的定容 热容量； 是格林爱森常数。 证明：按定义，晶体的体胀系数 1使用熟知的循环关系式 1 1111 (1) 式中 是体积弹性模量。 对于晶体，有格林爱森常数状态方程： (2) 式中， U(V)是 0 E 为晶体热振动的平均 总能量； 是格林爱森常数。 代回 (1)式即得 无关，则有 对 (2)式求微商，由于 U(V)与温度 由正负离子构成的一维离子链，离子间距为 ，离子质量都为 ，电荷交替变化，即第 个离子的电荷 ， 原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程 作用，力系数为 ；其二是所有离子间的库仑作用。证明： am n （ 1）库仑力对力常数的贡献为 ;32 n （ 2）色散关系为 ,pc o s i 其中 ; 3220 （ 3） 0 . 4 7 5, 时，格波为软模。 证明： （ 1）设离子链沿水平方向。 第 个离子右端的第 个 离子与第 个离子间的库仑力为 2上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。 考虑到 p a ,可将上式展成 级数， 取一级近似得 个离子左端的第 个离子与第 个离子间的库仑力为 n n 2取一级近似得 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑合力为