李庆扬版数值分析 全套PPT课件

数值分析讲义 （李庆扬等 数值分析 ） 临港四校研究生课程 第 1章 绪 论（不考） 内容提要： 值分析研究对象与特点 值计算的误差 差定性分析与避免误差危害 值分析研究对象与特点 一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程 2实际问题 模型设计 算法设计 问题的解 上机计算 程序设计 求 方程求根 22 x 牛顿法 )2(211程序设计 解 上机计算 ,4 1 310 数值分析的内容 包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如 单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性 , 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。 二、数值分析的特点 面向计算机 ，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 有可靠的 理论分析 ，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。 要有好的 计算复杂性 ，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 要有 数值实验 ，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 三、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是 基本任务 ，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的 基本原理和思想 ，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 理解每个算法建立的 数学背景、数学原理和基本线索 ，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 要通过 例子 ，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 为掌握本课的内容，还应做一些 理论分析和计算练习 。 值计算的误差 一、误差的来源 在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。 1、 模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。 2、 测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。 3、 截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。 。的截断误差是泰勒余项近似代替，则数值方法多项式用泰勒例如：函数0(!2)0(!1)0()0()()()(2 (T a y l o r )4、 舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参 数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差。 0 0 0 0 0 2 1 5 1 5 R，产生的误差近似代替例如：用1 x x x e x 设 为 准 确 值 ， 为 的 一 个 近 似 值 ， 称为 近 似 值 的 ， 简 称 误 差 , 记定 义绝 对 误 差 为 。误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。 二、绝对误差、相对误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限 误差是有量纲的量，量纲同 x，它可正可负。 误差一般无 法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一 个上界，这个上界称为近似值 x* 的 误差限 ，记为 *。 。则例如，有两个量工程中常表示为即对于一般情形1,1000;1,10,11000,110,2、相对误差与相对误差限 2x 近 似 值 的 误 差 与 准 确 值 的 比 值称定 义相 对 误 差为 近 似 值 的 ， 记 作 。*,| | | |10% 0.1%x y x x 在 计 算 中 ， 由 于 真 值 总 是 不 知 道 的 ， 通 常 取。相 对 误 差 绝 对 值 的 上 界 ， 记 作 即上 例 中 与 分 别 为 与 的 对 误 差限 ， 可 见 近 似 的 程 度 比 近相似 的对 误 差 限程 度 好 。3、有效数字 定义 3 如果近似值 x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x 的 有效数字 . 51 8 7 . 9 3 2 5 0 . 0 3 7 8 5 5 5 1 8 . 0 0 0 0 0 3 3 2 . 7 1 8 2 8 1 8下 列 数 按 四 舍 五 入 原 则 得 到 的 位 有 效 数 字 的近 似 数 分 别 是 ？例 如1 8 7 . 9 3 0 . 0 3 7 8 5 6 8 . 0 0 0 0 2 . 7 1 8 3解 ：1 2 31. 10 21 56 0 0 1x x x 下 列 各 数 都 是 经 过 四 舍 五 入 原 则 得 到 的 近 似 数 指 出它 们 有 几 个 有 效 数 字 ？再 例1 2 3解 ： 五 位 五 位 二 位4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系 绝对误差与相对误差 ：由两者定义可知。 * | ，1)1(1211021)1010(10具有表示为近似数 绝对误差与有效数字 ： 绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。 1 ( 1 )121( 1 )1( 1 )110 ( 10 10 )( 1 , 2 , , ) 0 9 0 ,110 12110()121a a aa i l a 设 近 似 数 表 示 为其 中 是 到 中 的 一 个 数 字 ， 为 整 数 。若 具 有 位 有 效 数 字 ， 则 其 相 对 误 差 限 为（ ）反 之 ， 若 的 相 对 误 差 限 ，定 理则 至 少 具有 位 有 效 数 字 。有效数字与相对误差限 定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了 相对误差限的求法。 1111111111110 ( 1 ) 10 ,0 110 ;10 21( 1 ) 10 102( 1 )1102x a ax x x 证 明 ： 由 （ ） 可 得当 有 位 有 效 数 字 时反 之 ， 由故 至 少 有 位 有 效 数 字 。 定 理 证 毕 。1 ( 1 )121 0 ( 1 0 1 0 )ml lx x a a a 注 ： 近 似 数 表 示 为 到的误差分别为加、减、乘、除运算得，它们进行及，其误差分别为与两个近似数 )()( 2*1*21 201 0 . 1 % 使 的 近 似 值 的 相 对 误 差 限 小 于 ， 至 少 要 取 几例 位有 效 数 字 ？三、数值运算的误差估计 1、四则运算 *1113311 10220 4. 4 , 4 , 4 ,0. 12 5 10 10 0. 1%20 40.1% 解 ： 设 取 位 有 效 数 字 ， 由 定 理 ， 。由 于 知 故 只 要 取 就 有即 只 要 对 的 近 似 值 取 位 有 效 数 字 ， 其 相 对 误 差 限 就 小于 。1 2 1 21 2 1 2 2 11 2 2 11222( ) ( ) ( ) ;( ) ( ) ( ) ;( ) ( )()x x x xx x x x x xx x x x 2201 - 2 5 3 0 0 1 0 ,V V 若 电 压 ， 电 阻求 电 流 并 计 算 其 误 差 限 及例相 对 误 差 限 。* ) 300( ) ( )()220 10 300 ) ) 6% R 解 ：（ ）所 以 = 1 1 0 m - 0 - 0 l l l l md d m s 已 测 得 某 场 地 长 的 值 为 ， 宽 d = 8 0 m , 已 知 ，。 试 求 面 积 的 绝 对 误 差 限 与 相 对 误 差 限 。例 1- 32( ) ( ) ( )110 ( 80 ( 27 ( )( ) ( )()8800rs l d d l d 解 ： 由 误 差 限 乘 法 公 式故2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用函数的泰勒展开式进行估计。 2( ) ( ) ( )( ( ) )()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( )( ) ( ) .f x x x f x f x f x f x x xf x f x xf x f x x 设 是 一 元 函 数 ， 的 近 似 值 为 ， 以 近 似 ， 其误 差 界 记 作 ， 可 用 泰 勒 展 开 并 取 绝 对 值 得假 定 与 的 比 值 不 太 大 ， 可 忽 略 的 高 阶 项 ，于 是 可 得 计 算 函 数 的 误 差 限（ ） （ ）0 l l n ) ,1( l n( x ) ) ( ) ( )1 - 4rx x 设 , 的 相 对 误 差 限 为 ， 求 的 误 差 限 。解 ： 有例即1 2 1 2 1 2121121211 2 1 2( , , ) , , , ,( ( , , ) ) ( ) ( )( ( , , ) ) ( )( ( , , ) ) ( )( , , ) ( , ,n n r nk x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x 当 ， 是 多 元 函 数 ， ， 的 近 似 值 为 ， ，则 误 差 限 ，相 对 误 差 限 ， ， )= 11 0 . 2 1 l m d d m s l d 已 测 得 某 场 地 长 的 值 为 ， 宽 d =8 0m ,已 知 ， 。 试 求 面 积 的 绝 对 误（差同 例限 与1。3误 限）相 对 差例 1 - 52, , ,( ) ( ) ( )80 ( 110 ( 27 ( )( ) ( ) 27( ) 800l d d l 解 ： 因 由 误 差 限 函 数 公 式故21 0 . 12s g t g t 设 ， 假 定 是 准 确 的 ， 而 对 的 测 量 有 的 误 差 ，证 明 当 增 加 时 ， 的 绝 对 误 差 增 加 ， 而 相 对 误 差 却 减 少 。例 1- ( )2( ) ( ) ) 1()2rt s g ts gt t 解 ： 由 题 意 知 （ ）绝 对 误 差 限相 对 误 差 限由 于 增 加 时 ， 其 近 似 值 也 增 加 ， 因 此 结 论 成 立 。差定性分析与避免误差危害 一、病态问题与条件数 1、病态问题： 对一个数值问题本身如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，就是病态问题。 : ( ) ,( ) ( ), ( ) ,()( ( ) ( ) ( ) ( ) )()( ) ( )() ()x x x x xx f x f f xf x f x f x x xx f xf x f x x x 2 、 条 件 数 计 算 函 数 值 时 若 有 扰 动 ，其 相 对 误 差 为 函 数 值 的 相 对 误 差 为相 对 误 差 比 值 利 用称 为 计 算 函 数 值 问 题 的 。条 件 数 很 大 情 况 的 问 题 就 是条 件 数病 态 问 题 。n - 1nx ) , = ( 1 ) 1 , ( ) , 1 , 2% 24%10x x C n nn f f x 则 有 它 表 示 相 对 误 差 可 能 放 大 倍 。如 有 若 取 自 变 量 相 对 误 差为 ， 函 数 相 对 误 差 为 ， 这 时 问 题 可 以 认 为 是 病 态 的 。一 般 情 况 条 件 数 就 认 为 是 病 态 ， 越 大 病 态例 如越 严 重 。二、算法的稳定性 用一个算法进行计算，由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快就是数值不稳定的，先看下例。 110111100( 0 , 1 , )1 ( 1 , 2 , )e x e d x nI n I nI e e d x e 计 算 并 估 计 误 差 。解 ： 分 部 积 分 公 式例 17值不稳定的。）是数式（倍误差。它表明计算公的就是有误差这说明）（易得满足关系算的误差计算结果表明，各步计方法一分析：）（法一：时当初值取为,!1),2,1(),2,1(10. 63 2163 210199910011( + ) =2 10 B ( 9 , 8 , , 1 )1( 1 )1, n!n E 当 初 值 取 为 时法 二 ： （ ）方 法 二 分 析 ：计 算 结 果 表 明 ， 各 步 计 算 的 误 差 满 足 关 系易 得 这 说 明 比 缩 小 了 倍 。计算结果： n 法一 (A) 法二 (B) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 、避免误差危害的若干原则 1、 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 x/y， 若 0时， Ln(x)不一定收敛于 f(x)。 20世纪初龙格（ 给了一个等距节点插值多项式 Ln(x)不一定收敛于 f(x)的例子。 y=x) , 次插 值插值 多10的0)110关 于 节 点作,2010101上取等距 节 取11在区 间,251对1012( x )L,( i = x ),+i h , i =-)x+f ( x ) =( x 1 y=x) o .5 y 龙格现象 为分段线性插值。称上是线性函数。在每个小区间满足：求一折线记，的函数值，上设已知节点( x )I,xx( x )I,n) ;,(x ) a,b ( x )I( x )Ih,(10)2(;)1(,m a x, 二、分段线性插值 分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 f(x). 110111111, n -, x )I,xx( x )上可表示为在每个小区间由定义知11 1 1( ) , , , 1 , 2 ,i i x x xS x y y x x x i 分段线性插值 三、分段抛物插值 2,1,21)(41)(21)()(12121211222121次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。 一、三次样条函数 y=x) 为三次样条插值函数。则称上给定函数值在节点上的三次样条函数。若是节点是给定节点，则称项式，其中上是三次多，且在每个小区间若函数定义S( x ),n,j,y)S( n),)( x )xx a, bx )1010 ,101012每个小区间上要确定 4个待定系数，共有 应 确定 4 y=x) ( i i ) ( i ) a , )2()3(10 1 ( 2)000000 121 33100 f)( f)(xS,n,j,y) S( S( x)-( () S( x)x),(a,bS( x ) 即两端的二阶导数已知，即已知两端的一阶导数值见的边界条件如下：边界条件），常上各加一个条件（称为的端点在区间个边界条件个）插值条件（满足连续性条件处应点上二阶导数连续，在节在根据个）建立方程（确定待定系数的方法：二、三次样条插值函数的建立 y=x) 是未知的。这里三次样条表达式可定出积分常数，得积分两次并利用对为上的线性函数，可表示在表达的二阶导数值下面我们利用,n),(jM, j, hM(y hM(yh)x(x )S( x)S( x( x )x )S,xx( x )x ),n),(x )101106666,y,y=x) 可得利用同理求得由此可求得求导得对的方程组。下面我们建立求解)( x(x )x ),n),(y=x) 得方程组，如果令出两个方程再由第一种边界条件导此可求得其中)x,x),fx,xf(x,x )fx,xf( 63012166 1212 , ,j, x, , y=x) 0 0 01 1 1 11 1 1 12222n n n nn n 系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求法见 追赶法。 01232 7 7 3 0 1 2 32 7 7 4 1 2 8 4 32 9 4 1 3 0 3 0S ( x ) , 27x ) . x ( i , , )f( x ) f( . ) . f( x ) f( ) x ) f ( ) . f ( x ) f( ) . 设 为 定 义 在 ， 上 的 函 数 ， 在 节 点 上 的 值 如 下试 求 三 次 样 条 函 数 使 它 满 边 界 条 件例 如足 7 3 0 3 0 4 0 ) . S ( ) . ， 。y=x) 0 1 2 1 2 30 1 2 0 0 1 001 0 1 2 2 1 2 33 3 2 32:310 30 1 113 210 1 61 46 66613 26 4 00002 6 2 70000617 4h . , h h , , , , , , d ( fx , x f ) fx , x , x . d fx , x , x f - fx , x ) 解 先 23. 531M 17. 6666解得在建立方程组y=x) , x) , (x.)(.- x )(.,x),(x.)(.- x )(.,.x) , .(x.).(x.)(x.)( x ) S ( x )3029 295 1 9 174295 1 9 171309 6 1 673301 3 8 3302928 289 6 1 673281 3 8 330292 3 4 004290 6 6 000287277273 1 3 53147272 2 0 000288 4 3 2214280 7 2 7813333333表达式最后得知 识 结 构 图 二 插值法 工具 分段多项式插值 存在唯一性 多项式插值 插值公式 误差估计 差商、差分 定义 性质 定义 性质 导数型 差商型 等距节点插值公式 存在唯一性 误差估计 插值公式 分段线性插值（公式、误差估计、收敛性） 分段三次 式、误差估 计、收敛性） 三次样条插值（公式、存在唯一 性、误差估计、收敛性） 第三章函数逼近 内容提要 本概念 佳平方逼近 线拟合的最小二乘法 ()()( ) ( ) ( )A f xf x AB p x B p x f x、 ： 对 于 函 数 类 中 给 定 的 函 数 ，记 作 ， 要 求 在 另 一 类 简 单 的 便 于 计 算 的 函 数 类中 求 函 数 ， 使 与 的 误 差 在 某 种 度量 意 义 下 达 到 最 小 。函 数 逼 近 问 题1x0 x3 x5 x7 x1 x4 x6 x2 f(x) p(x) | |( 1) | | 0 , 0 , | | 0 ; ( )( 2) | | , R ; ( )( 3) | | | | , , . S x Sx x y x y x y S 设 是 实 数 域 上 的 线 性 空 间 ， ， 如 果 存 在 唯 一实 数 ， 满 足 条 件当 且 仅 当 时 正 定 性齐 次 性定 义 1( )| | | |三 角 不 等 式则 称 为 线 性 空 间 上 的 ， 与 一 起 称 为， 记 为范 数 赋 范线 性 空 间2、范数与赋范线性空间 范数。称为，范数，称为，范数或最大范数，称为，三种常用范数：，有上的向量例如，对21|m a x),(211221111| | | 为，范数，称为，范数，称为，：，可定义三种常用范数上的类似地，对2)(1|)(|)(|m a x)(,21221d| d| | ) ( 1 ) 0 , 1 f x x c f f f 计 算 函 数 关 于 与 例 的 、如 230 1 0 10111310022( ) 3 ( 1 ) 0 ( 0 , 1 ) ( ) | | | | m a x | ( ) | m a x | ( 1 ) |m a x ( 0) , ( 1 ) 11| | | | | ( ) | d ( 1 ) d 4| | | | ( )x x f x f x x x xf f x 解 因 ， ，故 单 调 增 加 ， 于 是 1122116001d ( 1 x x ） K ( R C ) ,( , )( 1) ( ) ( , ) ( 2) ( ) ( ) , K ( 3) ( , ) ( ) ( ) ( 4) ( , ) 0 0X u v XK u v v u u, v v u, v u v Xu v w u, w v , w u, v , w Xu u u 设 是 数 域 或 上 的 线 性 空 间 ， 对 ，有 中 一 个 数 与 之 对 应 ， 记 为 ， 并 满 足 以 下 条 件 ：， ；， ， ；， ；， 当 且 仅 当定 义 212121 1 2 2( , ) 0.( , ) ( , ) ( ) K R ( , ) ( )R ( , , , )( , , , ),v X u vv u u, v v u u, vx x x xy y yx y x y x y x y 时 ，则 称 为 上 的 与 的 。 定 义 了 内 积 的 线 性 空 间 称为 ， 为 的 共 轭 ， 当 时 。例 如 线 性 代 数 中 ， 中 两 个 向 量 及y 的 内 积 定 义 为（ ）内 积内 积 空 间3、内积与内积空间 无关。线性非奇异的充要条件是矩阵，则称为矩阵，为一个内积空间，设r ,),(),(),(),(),(),(),(),(),(,2121222211121121定理3 122211, 0( 1 , 2 , , )( , ) , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )i i i y i nx y x y x xC a b f x g x C a b x a bf x g x x f x g x d 在 上 ， , 为 权 系 数 ， 可 以 定 义 加 权 内 积 和相 应 的 范 数 为在 上 , 上 权 函 数 ， 可 以 定 义 加 权 内 积 和相 应 的 范 数 为例 如11 2222( ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ) f x f x f x x f x 1、最佳平方逼近 最佳平方逼近 最佳平方逼近函数。的中在子集为则称使若存在中的一,)()(*,)()()(m i nm i n)( x ) ,( x ) ,( x ) ,s p a n 个子集b及c a , b ,C a ,f ( x ) 对2)()(*x ) x )( x ) x ) 2222*0 1 x I ( ) ,I ( ) ( ) f ( x ) a aa a a x a x 求 解 问 题 求 多 元 函 数 ， ， ， 最 小 值 问 题2 、 最 佳 平 方 逼 近 的 计，算其 中 ， ，(),(),(),),(),(),(0)()(2),(00000f)(0)(f)(20)(x2)d( x ）（于是有）（）（）（得0 k 0 , 1 , , 利 用 多 元 函 数 求 极 值 的 必 要 条 件（ ）0 0 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 1010 1 n 0 1n 0 1 n( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ),( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , ,de t G ( , ) 0 ,n n n n a a 关 于 的 线 性 方 程 组 ， 称 为 法 方 程 ， 由 于 ， 线 性 无 关 ， 故 系 数 ， ，* * *0 0 n x) ( x) ( x) 方 程 组有 唯 一 解 。 从 而 得 到),S)S)S ),S2*22*)(),(|)(|)()(),()()(,()(|)(|()()( 则平方误差为若令*0 1 1 0 10 0 0 1 001 0 1 1 111123 21110 0 1 14 644411511 0 0 13241 , , ( ) ,( , ) ( , ) ( , ),( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( , )( , ) ( , ) ( ,x S x a a x 解 已 知 设 所 求 得 法 方 程110411047)1231( , )80x x x 1( ) , 1 s p a n 1 , ( ) 1x x 求 在 上 的 在 中 的 关 于的 最 佳 平 方 逼 近例 31多 项 式 。2( ) 1 0 , 1 -2 f x x设 ， 求 上 的 一 次 最 佳 平 方 逼 近例 3 多 项 式 。143 15 7 10004 32 12 2715 31 88211132 64 80 13 5*112 10 7 31 882 27 12 80 13 5, 8( ) 35| ( ) | d ( ) x xx x x 平 方 误 差12001312221000101121 l n( 1 2 ) 1. 14 7221 2 2 11 ( 1 ) 33111. 14 7211 0. 60 9230. 93 4 , 0. 42 6d x x x dx 解 ： 得 线 性 方 程 组解 得故1112100( ) 0. 93 4 0. 42 6( ) ( ( ) , ( ) ) ( ( ) , ( ) )( 1 ) 6S x xx f x f x S x f xx dx d d 平 方 逼 近 误 差 为。去逼近所求函数数也就是构造一个近似函来我们希望从中找出规律据一组杂乱无章的实验数设已获得但又非常实用的问题。个既古老测量数据的拟合是一)()(,),2,1(),(, ，找一函数中要求在给定函数类对于给定的数据最小二乘问题一般提法pa , : 0*0)(*,),1,0(),( 一、最小二乘法及其计算 曲线拟合的最小二乘法 .)()(m i n)()(*)(*20)(0202 | 22满足使2 2 22002()0, * ( )| | | | ( ) * ( ) ( ) m i n ( ) ( ) ( ) ()i i i s x f xx s x f 更 一 般 提 法 使 满 足其 中 是 a,b 上 的 权 函 数 。00( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( )mk j i k i j i i j x xf x f x x 引 进 内 积*02000* ( ) ( ) , ,( , , ) ( ) ( ) ( ) . nk k i k k i x a x aI a a x a x f x问 题 归 结 为 求 即 求 系 数 使 得取 得 极 小 值),1,0(0)()()()(20 0 要条件由多元函数求极值的必0 0 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 101001( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ). ( ) , , ( ) , n ,n n n n x C a 称 为 法 方 程 但 是 在 上 线 性 无 关 ，不 能 保 证 其 系 数 矩 阵 非 奇 异例 如 ，0 0 0 11 0 1 1si n 2 , 0 , 2 , , 0 , 1 , 2.( , ) ( , )0( , ) ( , )kx x x k 。上满足在点集则称，个不同的零点上至多只有的任意线性组合在点集设H a a r 条件定义1 0,1,0