频率域图像增强【PPT课件】

第六章 频率域图像增强 为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它 频域图像增强是指通过对图像进行傅立叶变换，将图像从空间域变换到频域，并对图像的频率成分进行相应处理，从而实现图像增强的功能； 傅立叶变换是频域图像增强的基础工具； 通过傅立叶变换重建可以不丢失任何信息； 傅立叶分析 周期函数可以表示为不同频率的正弦和 /或余弦和的形式（傅立叶级数） 非周期函数可以用正弦 /或余弦乘以加权函数的积分来表示（傅立叶变换） 简单的周期运动 : (谐波函数 ) ( 幅 , 复杂的周期运动 : s o sc o ss 令 ,s in a ,c o s b 得函数项级数 )s o s(210 为 角频率 , 为 初相 ) (谐波迭加 ) 称上述形式的级数为 三角级数 . 6 三角函数 的傅里叶级数 : 112T )s i s()(11101 直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n1 1100).(110s).(211s i n).(2 10011 直流系数 余弦分量 系数 正弦分量 系数 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 0,10,1)( 先求傅 里 叶系数 00 dc o o s)1(1 2,1,0(0 f (x) 展成傅 里 叶级数 . 0011( 1 ) s in d 1 s n x x n x x 01 c o 01 c o 2 1 c o s 2 1 ( 1 ) ,0 ,6,4,2( ) f x x 2s i n(121 ( , 0 , , 2 , ) x 99s 根据收敛定理可知 , 时 ,级数收敛于 0211 2) 傅氏级数的部分和逼近 33s i ns i 55x说明 : f (x) 的情况见右图 . 数形式的傅里叶级数 1001)(11)()( 1 复指数傅立叶级数有一个统一的傅立叶系数，在信号处理和系统分析中更容易使用，余弦傅立叶级数在周期信号和幅度谱，相位谱中更加直观。 傅里叶变换：非周期函数可以用正弦和 /或余弦乘以加权函数的积分来表示。 傅里叶反变换：函数特征可以通过反变换来重建，不丢失任何信息。 一维傅里叶变换及其反变换 二维 频率域滤波 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 一维傅里叶变换及其反变换 2 设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量 u：频率变量（实变量） F(u)：频率函数（有实部和虚部） 傅里叶正变换为 ： 若已知 F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得 f(x) 1 2 2101 )()(F 210)()( 1,2,1,0 1,2,1,0 离散形式 ： 例：两个简单一维函数的傅里叶谱 、当曲线下的面积在 率谱的高度也加倍。 、当函数的长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。 d x d (2 ),(),( 定义 : 若 f(x,y)是连续图像函数 正变换 : 反变换 : d u d (2 ),(),( 变换对 : ),(),( 二维 2 定义 : 若 f(x,y)是离散图像函数（尺寸 M*N） 正变换 : 反变换 : 1,1,01,1,0),(1),(1010)/(2 1,1,01,1,0),(),(1010)/(2 一般 F(u,v)是复函数 ,即 : ),(),(),(),(),( ),(),(),( 22 幅度谱 : ),(),(),( 1位谱 : 功率谱： ),(),(),( 22 移中性 0, 在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移 至u=N/2点 。 图像移中后进行傅里叶变换，则变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心 （ M/2,N/2） ； 点，即 F(0,0)被设置在 u=M/2和 v=N/2上； 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换 F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 1010),(1)0,0(中的变换： 能量分布于四角 能量集中于中心 移中 图像 f（ x， y） 移中 I=; I=); ); +; ,2,1); ); ,2,2); ); 设 x(n)为 一般来说， x(n)和 都是复数， X(k)也是复数， 因此每计算一个 X(k)值，需要 （ 复数加法。而 X(k)一共有 以 完成整个 次复数乘法及 N(复数加法。 ），（ .,)()(10 时 共需 16次乘法， 12次加法。 1）直接计算 由于一次复数乘法需用四次实数加法；一次复数 加法则需二次实数加法。因此每运算一个 X(k)需 要 4N+2(2(2实数加 法。所以整个 次实数乘法和 次加法。 例如： N=1024时， ,048,576次。所 以，直接计算 对计算速度要求是太高了。 24N)12(2)12(2 直接计算 仔细观察 用系数 的以下固有特性，就可以减小 1、 的周期性 符号 表示取 所得之余数。 此特性的另一种表达式为： 2、 的对称性 因为 ，于是得到 （ ( （ ( （），（ ()( )(1）直接计算 这样， (1)利用这些特性，使 以合并； (2)利用 的对称性和周期性，可以将 长序列的 面已经说 过， 成正比，所以 利。 快速傅立叶变换就是在这种思路下发展起来的。 下面将详细介绍。 时间抽取的 先设序列长度为 , 将 的序列 x(n)(n=0,1,.,先按 r=0,1, 将 )()12()()2(212N)(12()(2()()()(1012012022 则上式 (表示成 )2)2(2)2(22 ），（ )()12()2()(21202120 ,0 2）按时间抽取的 式中 及 分别是 及 的 点 上式可以看出，一个 点 )(1 (2 N），（ ()(120 2 （ 2()(120 2 时间抽取的 但是， 以及 都是 点的序列即 r,r,k=0,1, 却有 用上面的式子计算得到的只是 的前一半项数的结果，要用 来表达全部的 值，还必须应用系数的周期性，即 这样可得到 )(),( 21 (),( ),( (22W)()()()2(120120 21)2(21 时间抽取的 同理可得： 上两式说明了后半部分 )所对应的 分别等于前半部分 )所对应的 。 再考虑到 的对称性 这样，就可以得到 分为前后两部分得表达： 前半部分 ），（ )2( ),( 21 (),( 21 2)2()(12,.),()()(:)12,.,1,0)(时间抽取的 后半部分 这样，只要求出 0到 ( )区间得所有 值，即可求出 0到（ N 1）区间内的所有 值 ，这就大大节省了运算。 )12, . . ),()()2()2()2(:)1, . . . ,2)(N )(),( 时间抽取的 上面的式子可以用下面的蝶形图符号表示： 可以看出，每个蝶形运算，需要一次复数乘法及两次复数加 (减 )法。据此，一个 点 次复数乘法， 次复数加法，两个 点 次复 )()( ()( kN(22 )12(2 (222 2）按时间抽取的 数乘法和 次复数加法。此外把两个 点 点 个蝶形运算，还需要 次复数乘法及 次复数加法。因而通过这一步 分解后，总共需要 次复数 乘法和 次复数加法，而原始的直接 要 N*N(复数加法。 。 )12( lo lo g2）按时间抽取的 例题分析（设 N=4) 里叶变换和频率域滤波的介绍 频率域滤波 一、频率域的基本性质 图像 变化平缓的部分 靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域（如房间中的墙和地板） ； 图像中的 边、噪音、变化陡峻的部分 ，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为 高频区域 。 u v 里叶变换和频率域的介绍 边缘、噪音、变化陡峭部分 变化平缓部分 频域中滤波基础 频率域滤波步骤： 1. 用 (-1)x+ 2. 由 (1)计算图像的 F(u,v)； 3. 用滤波器函数 H(u,v)乘以 F(u,v); 4. 计算 (3)中结果的反 5. 得到 (4)中结果的实部； 6. 用 (-1)x+5)中的结果。 ),(),(),( ),(1 滤波后的图像空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 的离散卷积为：和 ),(),( 对每个像素进行指定数量计算的过程就是卷积过程。 1010),( ),(1),(),(1、翻转； 2、移动； 3、乘积； 4、求和 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 ),(),(),(),( ),(),(),(),( 卷积定理 ： 波器 空间平滑滤波器 消除或减弱图像中灰度值具有较大较快变化部分的影响，这些部分对应频域中的高频分量，所以可用频域低通滤波来实现 空间锐化滤波器 消除或减弱图像中灰度值缓慢变化的部分，这些部分对应频域中的低频分量，所以可用频域高通滤波来实现 频率域滤波模型 : ),(),(),( F(u,v)为含有噪声原图像的傅里叶变换 H(u,v)为低通滤波器的传递函数 G(u,v)为经低通滤波后输出图像的傅里叶变换 像平滑 低通滤波器 ) ) 低通滤波器 空域通过用带 正系数 的模版实现 低通 滤波； 频域越 宽 ， 滤除的频率成份越 少 ， 空域越 窄 ， 模板越 小 ， 平滑作用越弱 。 频域越 窄 ，滤除的频率成份越 多 ，空域越 宽 ，模板越 大 ， 图像越模糊 ； 1、理想低通滤波器 2、高斯低通滤波器 2低通滤波器 理想低通滤波器 ( 到频率矩形原点的距离截止频率),(),(),(;0),(;1),(000 2/122 2/2/),( 理想低通滤波器作用 外的频率分量会被滤除 若滤 除的高频分量中含有大量的边缘信息，会发生图像边缘模糊现象。 标准截止频率：是通过计算半径为 的百分比决定的 。 1010),(a%的功率 ),(100在谱中叠加的圆周分别有 5， 15， 30， 80， 230像素的半径。 这些圆周包围的图像功率的百分比分别为 98%， 理想低通滤波器 5 15 30 80 230 ),(),(),( 频域： 空间域： ),(*),(),( 3高斯低通滤波器（ 22 2/,),( 0D令 202 2/,),( 0),( ( 有更加平滑的过渡带，平滑后的图像没有振铃现象 与 减更快，经过 高斯低通滤波器 5 15 30 80 230 4 图像锐化 高通滤波器 高通滤波器 空域通过用带 有正有负的系数 模版实现 高通 滤波； 频率域 滤波器 越宽 ，滤除的频率成份 越多 ，在空间域意味着滤波器越 窄 ，模板越 小 ， 检测边缘越少 ； 频域越 窄 ，空域越 宽 ， 模板越 大 ， 检测边缘越多 。 (d )(b ) (c )(a ) ) ) )x )0 0