高中数学 第二章 解析几何初步章末总结 北师大版必修2

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第二章 解析几何初步章末总结北师大版必修2 一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果例1设点P(x，y)在圆x2(y1)21上求的最小值例2讨论直线yxb与曲线y的交点的个数二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件(在用二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形例3过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程例4求过点A(3,1)和圆(x2)2y21相切的直线方程三、对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称1中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2ax1,2by1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P(x，y)(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上，并且l1l2，P到l1、l2的距离相等2轴对称(1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程(2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；当l1l2l时，l1到l的距离等于l2到l的距离例5已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线yx2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程例6自点P(6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y28x6y210相切于点Q求光线l所在的直线方程第二章 章末总结 答案例1解式子的几何意义是点P(x，y)与定点(1，2)连线的斜率如图，当为切线l1时，斜率最小设k，即kxyk20，由直线与圆相切，得1，解得k故的最小值是例2解如图所示，在坐标系内作出曲线y的图像(半圆)直线l1：yx2，直线l2：yx2当直线l：yxb夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l与曲线y有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：当b2时，直线yxb与曲线y无公共点；当2b2或b2时，直线yxb与曲线y仅有一个公共点当2b2时，直线yxb与曲线y有两个公共点例3解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，y2kx令y0，得x1与x由题意得|1|1，即k1直线的方程为yx1，yx2，即为xy10，xy20综上可知，所求的直线方程为x1，x0或xy10，xy20例4解当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y1k(x3)，即kxy13k0直线与圆相切，d1，解得k0当所求直线斜率不存在时，x3也符合条件综上所述，所求直线的方程是y1和x3例5解(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则点P，P的中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l，即，解得，P坐标为(2,7)(2)设直线l1：yx2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立，解得，把(x1，y1)代入yx2，整理得7x2y2220，l2方程为7xy220(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l，由于ll，可设l为y3xb (b3)由点到直线的距离公式得，即|b7|10，解得b17或b3(舍去)，直线l的方程为y3x17，即对称直线的方程为3xy170例6解如图，作圆x2y28x6y210关于x轴的对称圆x2y28