高中数学（北师大版）选修1-1教案：第1章 拓展资料：解读四种命题的相互关系

解读四种命题的相互关系基本的逻辑知识及推理能力是同学们在日常生活和学习中认识问题、分析问题不可缺少的工具，然而四种命题的相互关系是逻辑知识的核心问题.因此理解掌握四种命题之间的相互关系非常有必要.一、要点精析1. 四种命题定义（1）在两个命题中，如果第一个命题.即原命题的条件是第二个命题的结论，且原命题的结论是第二个命题的条件，那么第二个命题就叫做原命题的逆命题.原命题的逆命题的形式可表示为：若q则p；（2）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题这个命题叫做原命题的否命题否命题的形式可表示为：若非p则非q（3）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题这个命题叫做原命题的逆否命题逆否命题的形式可表示为：若q则p关于逆命题、否命题与逆否命题，也可作如下描述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.2. 四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：3.四种命题的转化四种命题之间存在着互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题的逻辑关系.如原命题与逆命题、否命题与逆否命题互逆，原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否.它们之间是可以任意转化的，关键是要分清命题的条件和结论，然后根据其定义转化即可.二、典例评析例1设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题.分析：“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc.解：逆命题：“当c0时，若acbc，则ac”；否命题：“当c0时，若ab，则acbc”；逆否命题：“当c0时，若acbc，则ab”.评注：找出命题的条件和结论是解题的关键.例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题时， 无实根；当abc0时，a0或b0或c0分析： 改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题解答：原命题：“若，则无实根”；逆命题：“若无实根，则”；否命题：“若，则有实根”；逆否命题：“若有实根，则”；原命题；“若abc0，则a0或b0或c0”；逆命题：“若a0或b0或c0，则abc0”；否命题：“若abc0，则a0且b0且c0”；(注意：“a0或b0或c0”的否定形式是“a0且b0且c0”)逆否命题：“若a0且b0且c0，则abc0”评注：在命题转化时，一定要分清元命题的条件和结论，特别要注意前提条件.要掌握和应用好四种命题之间的关系，首先要学会四种命题之间的转化，各种命题的等价性，从而彻底理解四种命题的结构.给定一个命题“若则”，一定要