电磁学的复习法宝公式篇镜像法ppt课件

2、矢量运算法则 a.标量三重积 含义：标量三重积结果为三矢量构 成的平行六面体的体积 。 b.矢量三重积： 注意：先后轮换次序。 1、直角坐标系 点P(x 0,y0,z0) 0 yy= （平面） o x y z 0 xx= （平面） 0 zz= （平面） P 直角坐标系 x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx 线元 面元 体元 2、圆柱坐标系 圆柱坐标系 圆柱坐标系的长度元、面积元、体积元 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元 面元 体元 3、球坐标系 球坐标系 球坐标系的长度元、面积元、体积元 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元 面元 体元 在不同的坐标系中，标量场 的梯度的计算公式： 在球坐标系中： 在柱坐标系中： 在直角坐标系中： 直角坐标系中散度可表示为 因此散度可用算符 表示为 散度定理（高斯定理） 式中S为V 的外表面 旋度 直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 斯托克斯定理 矢量场 的旋度 在曲面S上的面积分等于矢量场 在限定该曲面的闭 曲线C上的线积分。 任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 任一标量场 的梯度的旋度一定等于零 库仑定律 其中： 为真空中介电常数。 电场强度的计算 点电荷周围电场强度的计算公式： 其中： 是源电荷指向场点的方向。 多个电荷产生的电场 如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所 有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。 在直角坐标系中，若源电荷 所在点的坐标为 ， 场点P 的坐标为 ，则P 点的电场强度为： A点电位的计算公式 电位与电场强度关系 体电荷分布： 面电荷分布： 线电荷分布： 无限长线电流的电位 磁感应强度B的定义 安培力实验定律： 毕奥萨伐尔定律。 闭合电流回路在空间所产生的磁感应强度： 无限长载流直导线周围磁感应强度： 有限长度电流线磁感应强度： 无限大均匀导流面两侧的磁感应强度： 穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零 线电流矢量磁位 体电流矢量磁位： 体电流密度： 面电流矢量磁位：面电流密度： 麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式 麦克斯韦方程组的积分形式： 一般情况： 无源的情况： 正弦电磁场 （存在时间因子 ） 恒定电磁场 (存在直流电流) 注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称 性的场。 微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间 及场量与场源之间的关系。 微分形式: 积分形式: 麦克斯韦方程组的微分形式 导电材料的物态方程（本构关系） 导体的电导率 电介质的物态方程 其中： 称为相对介电常数 磁介质的物态方程 电场法向分量的边界条件（电位移矢量D的边界条件） 电场切向分量的边界条件（电场强度E的边界条件） 标量电位的边界条件 磁场法向分量的边界条件（磁感应强度B的边界条件） 磁场切向分量的边界条件（磁场强度H的边界条件） 为分界面上的自由电流面密度 矢量磁位的边界条件 标量磁位的边界条件 电流密度的边界条件 电磁场中各参量的边界条件，归纳如下。 标量形式 矢量形式 （3）在理想介质( )内部的电磁场不为零，分界 面上 为零，如果不是特意放置， 也为零。 （2）在导电媒质( )内部的电磁场不为零，分界 面上存在 但 为零。 应用这些边界条件时，必须牢记以下性质： （1）在理想导体( )内部的电磁场为零，理想导 体表面存在 和 ,导体内部D=0，B=0，H=0。 泊松方程 拉普拉斯方程 静电场基本方程 恒定电场基本方程 拉普拉斯方程 矢量泊松方程 恒定磁场基本方程 矢量拉普拉斯方程 内容 场 场方程 位函数 的依据 位与场的关 系 微分方程 位与源的 关系 边界条件 静 电 场 电位 (有 源或 无源 ） 恒 定 电 场 电位 U=I/G =IR 恒 定 磁 场 磁位 m(无 源） 磁矢 位A( 有源 或无 源） (2)、接地导体平面的镜像 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件： 在空间的电位为点电荷q 和镜像 电荷 ( =-q)所产生的电位叠 加，即 电位满足边界条件 导体平面边界上： q q有效区域 上半空间( z0 ）的电位函数 q导体平面上的感应电荷密度为 导体平面上的总感应电荷为 可见，导体平面上的总感应电荷恰好与所设置的镜像电荷相等。 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 将无限长的线电荷看作无数个点电 荷的集合。根据点电荷对无限大接 地导体平面的镜像原理，可得到线 电荷对应的镜像电荷仍为平行于导 体表面的线电荷，其电荷密度为 待求场域 中的电位 上半空间的电场 q d1 d2 1 2 RR1 R2R3 q1 d1 d2 d2 q2 d1 q3 d2 d1 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板， 点电荷q 位于( d1 ,d2 )处。 对于平面1，有镜像电荷q1=q， 位于(d1, d2) 对于平面2，有镜像电荷q2=q， 位于(d1, d2) 显然，q1对平面2以及q2对平 面1均不能满足边界条件。 只有在(d1, d2 )处再设置一镜像电荷q3 = q，所有 边界条件才能得到满足。 电位函数 如果两导体平面不是相互垂直，而是相交成 角，只要 ，这里的 为整数，就能用镜像法求解，其镜像电荷数为 有限的 个。 角域外有5 个镜像电荷 ，大小和位 置如图所示 。所有镜像 电荷都正、 负交替地分 布在同一个 圆周上，该 圆的圆心位 于角域的顶 点，半径为 点电荷到顶 点的距离。 n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当 角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 (3)、导体球面的镜像 .点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像 电荷q来等效。q应位于导体球内 （显然不影响原方程），且在点电 荷q与球心的连线上，距球心为d 。则有 如图所示，点电荷q 位于半 径为a 的接地导体球外，距球心 为d 。 问题： P q a r R d q P a q r R R d d 在球面上任取一点c，则 方法：利用导体球面上电位为零确定q和d 。 球外任意一点P 的电位： 因为 于是球外任意点的电位 若球外任意点坐标为 ： 则 所以 .点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为 的感 应电荷分布，则 导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的 感应电荷为零 采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷q 位于一个半径为a 的不 接地导体球外，距球心为d 。 P q a r R d 然后断开接地线，这样导体球上带电量为 ，根据电荷守恒 定律，原来导体球上感应电荷代数和应为零。所以，必须在导 体球内再附加另一镜像电荷 ，为保持导体球面为等位面，所 加的镜像电荷应位于球心处。 球外任意点的电位为： q P a q r R R d d q“ 所以，不接地导体球镜像电荷： (4)、导体圆柱面的镜像 问题：如图 1 所示，一根电荷线密度 为 的无限长线电荷位于半径为a 的 无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的 轴线平行且到轴线的距离为d 。 图1 线电荷与导体圆柱 图2 线电荷与导体圆柱的镜像 特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆柱外的电位由线电荷与感应电荷 共同产生。 分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与 轴线平行的无限长线电荷，如图2 所示。 . 线电荷对接地导体圆柱面的镜像 边界条件：柱面上 电位为零 设想镜像线电荷 位于对称面上，且 与圆柱轴线距离为 ，则导体柱面上任 一点的电位表示为 其中： 两平行线电荷的电位分布 在柱面上取两个特殊点M和N，则 空间电位为： 其中： 两平行线电荷的电位分布 在柱面上取两个特殊点M和N，则 空间电位为： 其中： (5)、介质平面的镜像 点电荷对无限大电介质分界平面的镜像 图图1 点电电荷与电电介质质 分界平面 特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化， 在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中 任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。 图图2 介质质1的镜镜像电电荷 问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的 两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介 质1中有一个点电荷q，距分界平面为h 。 分析方法：计算电介质1中的电位时，用位于介质2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整 个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图2 所示。 介质1中的电位为 计算电介质2中的电位时，用位 于介质1中的镜像电荷来代替分界面上 的极化电荷，并把整个空间看作充满 介电常数为 的均匀介质，如图3所 示。介质2中的电位为 图3 介质2的镜像电荷 可得到 说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分 界面的无限长线电荷，其镜像电荷为 利用电位满足的边界条件 电介质中的电场分布： 线电流对磁介质分界面的镜像 当计算上半空间的磁场时 可认为整个空间充满磁导率 为1的磁介质，在下半空间 有一镜像电流I，与I关于 分界面对称(如图所示)。上 半空间任一点的磁场为 设想用镜像电 流代替磁化电流 的作用，并在界 面上保持原有边 界条件不变 当计算下半空间磁场时 可认为整个空间充满磁导率为2的磁介 质，在上半空间有一镜像电流I，与电 流I 位