高中数学人教b版选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》名校好题汇编解析版

第02章 圆锥曲线与方程一、选择题：1. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则AB F1的周长为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 50【答案】B【解析】试题分析：由椭圆的定义得，所以AB F1的周长为，故选B.考点：椭圆的定义2. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直 角三角形，则椭圆的离心率是A B C D【答案】D考点：1、椭圆的简单性质；2、离心率问题3. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】设椭圆的离心率为e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2） A必在圆x2y22内 B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外 C以上三种情形都有可能【答案】A【解析】试题分析：由椭圆的离心率e得，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，由韦达定理得，所以，所以点P必在圆x2y22内，故选A考点：1、椭圆的性质；2、点与圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的基本性质，点与圆的位置关系，属于中档题；先通过椭圆的离心率得出的关系，由已知方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，再由韦达定理得；为了得出点与圆x2y22的关系，把点的横坐标和纵坐标代入，因此在圆内部4. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】为曲线上任意一点，则 A B C D 【答案】B考点：1、椭圆的定义；2、点与椭圆的位置关系【思路点晴】由曲线，可以联想到椭圆方程；由题意知方程所对应的曲线为连接椭圆四个顶点围成的四边形，并且该四边形在椭圆的内部（四个顶点在椭圆上），因此B为正确选项；本题以曲线为载体，考查类比思想、数形结合思想，以及椭圆的定义，正确的类比联想是解此题的关键，本题属于难题5. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】抛物线的焦点坐标是（ ） A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标是，所以抛物线的焦点坐标是考点：抛物线的定义6. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的焦距与短轴长之比为（ ） A、 B、 C、3 D、【答案】D【解析】试题分析：由题意知，而，所以，答案为D考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的简单性质7. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】设、是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A、 B、 C、24 D、48【答案】C【解析】试题分析：由双曲线的定义知，联立，得，而,则是直角三角形，所以面积为24，答案为C考点：1、双曲线的性质；2、焦点三角形的面积8. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（ ） A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，点在的渐近线上得，又， ，联立得，所以的方程为，故选A考点：1、双曲线的性质；2、渐近线方程9. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】下面有四个命题：椭圆的短轴长为1； 双曲线的焦点在轴上；设定点，动点满足条件，则动点的轨迹是椭圆；抛物线的焦点坐标是.其中真命题的个数为：_.【答案】1考点：1、椭圆的性质；2、双曲线的性质；3、抛物线的性质【易错点晴】本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥曲线的定义、性质及方程，是一道综合性比较强的题，属于中档题；熟练掌握圆锥曲线的定义和性质，标准方程是解答正确该题的关键；是易错选项，根据题目所给条件判断不出轨迹是椭圆，一定要分类讨论，当三种取值范围不同时，动点的轨迹也不相同10. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：过点M作轴于点B。设，则.易知点A为FN的中点，且，。利用三角形相似得，即，解得,所以.故选C。考点：抛物线的综合应用。11. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由渐近线方程得，.故选A。考点：求双曲线的离心率。12. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：可以证明，焦点三角形中，当点P在椭圆短轴端点时，最大。在该椭圆中，可计算最大时仍为锐角，即直角三角形的顶点只可能是焦点，所以点到轴的距离为点P的纵坐标y的绝对值。将代入椭圆方程得，,所以。故选D。考点：椭圆上点与两个焦点构成的三角形（也叫焦点三角形）。13. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】设，是双曲线（，）的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）A B C D【答案】C考点：求双曲线的离心率。【方法点睛】求双曲线的离心率问题：一、通过基本量运算求出，a,b,c,从而求出离心率。二、只需给出一个条件列出关于a,b,c三个量的一个等量关系，并将代入消去b，从而得到关于a,c的二次齐次方程，然后将方程两边同时除以得到关于即的一元二次方程求解即可。本题是利用余弦定理直接得到a,c的二次齐次方程求解即可。14. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由抛物线的交点坐标公式可知，该抛物线的焦点纵坐标是，故交点坐标是.考点：抛物线的性质.15. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】焦点在轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是 （ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意可知，所以长轴长为，故选B.考点：椭圆的性质.16. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）A.B.或C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，所以的取值范围是或.考点：椭圆的标准方程.17. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】过的直线与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）条A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析：双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，过点，斜率的两条直线与该双曲线只有一个公共点，过点且与该双曲线只有一个公共点的直线有2条故选B考点：双曲线的简单性质18. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】 直线与椭圆相切，则的值为（ ）A.B. C.D.【答案】A考点：直线与抛物线的位置关系.19【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知斜率为的直线与双曲线相交于两点，且的中点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：设，则两式相减可得：，斜率为的直线与双曲线相交于两点，的中点为，故选：B考点：双曲线的简单性质20【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则弦的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D考点：双曲线的简单性质【思路点睛】本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想，解答本题时，首先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段的长21. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】直线与双曲线的左支有两个公共点，则的取值范围是A B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：联立方程直线与双曲线得；若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则方程有两个不等的负根，解得：，故选：C.考点：双曲线的简单性质【思路点睛】本题考查的知识点圆锥曲线中的范围问题，首先根据直线与双曲线的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，进而构造关于的不等式组，然后再解不等式可得答案；其中分析出题目的含义是直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，是解答的关键22. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】在直角坐标系中，为坐标原点，为轴正方向上的单位向量，动点满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设，所以，表示平面上一点到两点的距离之和为定值，且，所以点的轨迹是以为焦点，中心为原点，长轴为的点的椭圆，所以的最大值为.考点：1.向量的模；2.两点之间的距离；3.椭圆的定义.【思路点睛】本题主要考查了两点之间的距离公式和椭圆的定义，解决本题的关键是将，转化为两点的距离，可得，再将关系式与椭圆的定义相结合，即可得到点的轨迹是以为焦点，中心为原点，长轴为的点的椭圆，进而求出结果.23. 【四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试】经过点P（2,1）且与抛物线只有一个公共点的直线的条数为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】试题分析：设过点的直线为，代入抛物线得，由得，方程有2根，所以直线与抛物线相切时有两条直线，当直线与抛物线相交且时只有一个公共点，因此所求直线有3条，故选C考点：直线与抛物线的位置关系24. 【四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A. B. C.D. 【答案】A考点：1.双曲线方程及性质；2.直线与圆相切的位置关系25. 【四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是A. B. C D 【答案】D【解析】试题分析：由椭圆双曲线焦点均为和可知，由是的等比中项，是与的等差中项可得，由，可得到，代入得，将其代入得，所以，故选D考点：1.椭圆双曲线方程及性质；2.等比中项等差中项【方法点睛】求椭圆双曲线的离心率的题目是圆锥曲线部分常考题型，求解时首先由方程求解的值，利用可求得离心率，或由已知条件找到关于的齐次方程，如的形式，两边同除以即可得到关于离心率的方程，从而求得离心率的值，本题中由已知条件可得到与的关系，将值用表示出来，通过两者间的关系即可求得比值26. 【四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试】双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足, 则的面积为( )A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】试题分析：假设点在右支上，由双曲线定义可知的面积为，故选A考点：双曲线方程及性质【方法点睛】双曲线椭圆的焦点三角形面积的问题是常考的题目，求解时主要利用余弦定理和双曲线椭圆定义，双曲线的焦点三角形面积公式为椭圆的焦点三角形面积公式为其中，以椭圆为例，公式推导如下：，双曲线焦点三角形面积公式推导与椭圆类似27.【江西省吉安市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试】设是椭圆的左右焦点，过点作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为( )A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到a，b，c的关系，然后求解椭圆的离心率即可是椭圆的左右焦点，过点作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，所以是椭圆上的点，可得 ，故选A.考点： 椭圆的简单性质二、填空题：1. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】若方程表示椭圆，则的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由于方程表示椭圆，可得，解得，且，故答案为.考点：椭圆的标准方程2. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆经过点，椭圆的两个焦点分别为F1、 F2，若，则椭圆的方程为_【答案】【解析】试题分析：不妨设椭圆方程为，把点代入得；又，即，解得；在椭圆中有，联立得，故椭圆的方程为.考点：1、椭圆的性质；2、垂直时斜率的关系【思路点晴】先根据中心在坐标原点，焦点在轴上，设出椭圆的标准方程，代入已知点的坐标，得出的一个关系式；再根据，知，求出的知，得到的另一个关系式，联立可得的值，所以椭圆的方程可得；本题考查的是椭圆的标准方程、椭圆的性质、两直线垂直时斜率的关系，属于中档题3. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由图知，点在轴上的射影恰好为右焦点，把代入椭圆得，所以；又，即，解得，所以答案为.考点：1、椭圆的性质；2、直线的倾斜角和斜率；3、直线和椭圆的位置关系【思路点晴】本题考查的是椭圆和直线的位置关系、椭圆的几何性质和直线的斜率的知识，属于中档题；解此类问题时，数形结合是解决问题的关键先根据图形，得出，从而求出斜率的表达式；再根据和椭圆的几何性质，即可求出椭圆离心率的取值范围4. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程 【答案】【解析】试题分析：依题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又，所求方程为：.考点：双曲线的定义.5. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】设分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点，使得则椭圆的离心率为 【答案】【解析】试题分析：由双曲线的定义可得，由，则有，即有（3b-4a）（3b+a）=0，即有，所以考点：椭圆的离心率.【思路点睛】本题考查双曲线的定义和性质：离心率，由双曲线的定义可得，再由条件，即可得到的关系，再由椭圆的性质可得的关系式，结合离心率公式，即可求得6. 【四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米。若行车道总宽度AB为6米，则车辆通过隧道的限制高度是 米（精确到0.1米）【答案】3.2【解析】试题分析：取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，抛物线方程为，行车道总宽度AB=6m，将代入抛物线方程，隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有米限度为，则车辆通过隧道的限制高度是3.2考点：抛物线的应用【方法点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，求解时首先建立合适的坐标系（以抛物线的顶点为原点建系），通过点的坐标得到曲线对应的抛物线方程，求得抛物线上点的坐标，从而可确定车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上的距离，使其满足最小为，进而得到车辆的最大高度7.【江西省吉安市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试】如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为，过椭圆上一点P和原点O作直线交圆O于M，N两点，若，则的值为 .【答案】6【解析】试题分析：设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到，代入横纵坐标的平方和后整理得答案设P在椭圆上， 由对称性得考点：椭圆的简单几何性质【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单三、解答题 1. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】(本题满分12分） 如图，已知圆，直线是圆的一条切线，且与椭圆交 于不同的两点.（1）求与的关系；（2）若弦的长为，求直线的方程.【答案】（1）与的关系为；（2）直线的方程为【解析】试题分析：（1）根据圆的切线的性质，知圆心到切线的距离等于半径，即，化简得；（2） 设，把直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理得，代入弦长公式中，再根据（1）中的结论求出，所以直线的方程为试题解析：（1） 直线与圆的相切，圆心到直线的距离，；（2）由消去得：， 设 ， .考点：1、圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题；解答此类问题时一定要先把直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示出和的关系式，再代入弦长中，联立方程即可求出与的值，从而得直线的方程为2. 【吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本题满分12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（I）求曲线的轨迹方程；（II）是与圆以及圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求的长.【答案】（I）曲线的轨迹方程为；（II）的长为或【解析】试题分析：（I）设动圆的半径为，由动圆与圆外切并且与圆内切得，而，由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，求出轨迹即可；（II）由于，所以；当且仅当圆的圆心为，时，其半径最大，其方程为.再分：当直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求出弦长试题解析：（）由圆的方程知，圆心，半径为1；圆的圆心，半径为3；设动圆的半径为，由动圆与圆外切并且与圆内切得，而，由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，所以，因此曲线的轨迹方程为.（）设曲线上任意一点，由于，所以；当且仅当圆的圆心为，时，其半径最大，其方程为.当直线的斜率不存在时，则与轴重合，可得；当直线的斜率存在时，由于圆的半径，可知与轴不平行；设与轴的交点为，则，可得，所以可设，由于相切可得，解得；当时，联立，得，所以；由于对称性可知，当时，也有.综上可知，的长为或.考点：1、椭圆的定义及性质；2、圆与圆的位置关系；3、直线与圆锥曲线的位置关系【方法点晴】本题综合考查了两圆的位置关系、直线与圆相切的问题、椭圆的定义及性质以及直线与椭圆的位置关系等，是一道综合性非常强的题目，属于难题；解此类问题需要较强的推理能力和计算能力、分类讨论的数学思想.涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用：直线与曲线联立后得到一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式，使得问题简化，此类题目是高考试卷中常见的压轴题3. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本小题10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，焦点在双曲线上，求抛物线方程.【答案】抛物线方程为y28x或y28x【解析】试题分析：先表示出双曲线的顶点，根据题意即可求出抛物线的方程.试题解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线1的顶点，即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y28x或y28x . 考点：1、双曲线的性质；2、抛物线的定义4. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本小题12分）命题方程是焦点在轴上的椭圆，命题函数在上单调递增.若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】实数的取值范围是12或3【解析】试题分析：对于命题：方程是焦点在轴上的椭圆可得2.对于命题，由0对恒成立得13.由为假，为真得一真一假，分类讨论即可.试题解析：对于命题，由条件可得2.对于命题，由0对恒成立得0 13.由为假，为真得一真一假，若真假时，则可得3，若假真时，则可得12，综上可得，的取值范围是12或3.考点：1、逻辑关系；2、椭圆的性质；3、函数的性质5. 【湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.【答案】（1）双曲线的方程为；（2）的取值范围是.【解析】试题分析：（1）设双曲线， 由已知得，再由，得， 故双曲线C的方程为 ；（2）将代入，由直线与双曲线交于不同的两点得且，由得，于是2，解得， 故的取值范围为试题解析：（1）设双曲线， 由已知得，再由，得， 故双曲线C的方程为 4分（2）将代入得.由直线与双曲线交于不同的两点得且且 则，由得，而 8分于是2，即， 解此不等式得， 由得， 故的取值范围为 . 12分考点：1、双曲线的性质；2、向量的数量积；3、参数取值问题【思路点晴】本题考查的是双曲线的性质、向量的数量积、参数取值范围等问题，属于难题；先根据双曲线的定义求出的值，进而用待定系数法求得双曲线的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和双曲线方程联立得到关于的二次方程，由直线与双曲线交于不同的两点得到关于的一个不等式，用韦达定理写出两个根的关系，代入公式中，再得到关于的的不等式，联立即可求出取值范围6. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】（本题满分12分=5+7）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于。【解析】试题分析：（1）设。以为直径的圆经过椭圆的右焦点即，从而得到b,c的一个方程，然后将点P代入椭圆方程得到a,b的一个方程，再结合,三个量三个方程，从而求出参数a,b，进而求出椭圆方程；（2）是否存在性问题应假设存在去求解。当直线的斜率存在时，设其方程为，由其与椭圆有且只有一个公共点得到。假设存在两点，满足题设，然后得到。因与参数k,m无关，所以令其系数等于零即可求出。（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得 （）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得8分假设存在，满足题设，则由 对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于12分考点：求椭圆方程；存在性问题。【方法点睛】（1）求椭圆方程常用的方法是待定系数法（本题即使用该法），即根据题意确定方程是那种形式（或）,然后根据条件求出a,b即可。另外，常用定义法，即根据题意动点满足到两定点距离之和等于定长且定长大于两定点间的距离，从而求出椭圆方程。（2）是否存在性问题，常假设存在去求解，如果求出存在；如果求不出即不存在。本题是假设存在，并求出，则要使其恒成立，需有参数的系数等于零即可求解。7. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本题满分12分） 直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于 、两点，且，求直线的方程.【答案】【解析】试题分析：首先由题意可知，联立方程然后再根据弦长公式可得，最后利用点斜式即可求出结果.试题解析：由题意可知，联立方程5分10分 12分.考点：直线与椭圆的位置关系.【一题多解】设直线的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，所以直线.8. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】设椭圆C： 的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且在椭圆上.（） 求椭圆C的方程；（） 若椭圆C左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交于两点，求面积的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）双曲线的离心率公式可得，得，再将点代入椭圆方程，可得，即可求出椭圆方程；（）设过的直线：，将其与与联立得，由韦达定理得，和弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得，到直线的距离 ，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出结果.试题解析：（）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，解得则椭圆C的方程为，代入得，所求椭圆C的方程为 4分.（）过的直线：与联立得，由韦达定理得， ， 6分设到直线的距离 10分=（当且仅当）12分.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆你的位置关系.【方法点睛】若椭圆方程为，半焦距为，焦点，若过的直线的倾斜角为交椭圆于两点则弦长；若直线交椭圆于两则弦长.9. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本题满分12分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，经过（）求椭圆C的标准方程；（）斜率不为的直线与椭圆交于、两点，定点，若，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）设椭圆C：，将分别代入，即可求出结果；（）联立 ，由韦达定理可得中点，再由，得，利用斜率公式可得，代入式，即可求出结果.试题解析：（）设椭圆C：，分别代入，得. 4分考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系.10. 【浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试】抛物线的准线过双曲线的一个焦点.（1）求抛物线C的方程；（2）设M为抛物线C上任意一点. 设，求到与距离之和的最小值；以M为切点的抛物线的切线与交于点N，试问轴上是否存在定点Q，使Q在以MN为直径的圆上. 若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2），详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意直线过双曲线的一个焦点，即可求得的值，从而可得抛物线的方程；（2）：利用抛物线的几何意义，将到的距离等价转化为到抛物线焦点的距离，再根据图形特点即可求解；：设，进而可将切线方程表示出来，以及求得的坐标，再设，利用，即可验证是否过定点试题解析：（1）双曲线的两个焦点分别为，直线过双曲线的一个焦点，抛物线C的方程为；（2）：如下图所示，故所求最小值即为到的距离，即所求最小值为；：，显然，则过的切线的方程：，令，即，设以为直径的圆与轴的交点为，存在定点，其坐标为.考点：1.抛物线的概念及其性质；2.抛物线的切线方程；3.平面向量数量积；4.定点问题【方法点睛】定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意11. 【浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二上学期期中考试】已知椭圆的离心率，它的上顶点为，左、右焦点为，直线，分别交椭圆于点，.（1）判断是否平分线段，说明理由；（2）若，过的动直线交椭圆于，两点，在线段上取点，使.写出椭圆的方程；求点的轨迹方程.【答案】（1）平分，理由详见解析；（2），.【解析】试题分析：（1）根据题意，可分别求得，三点的坐标，利用中点坐标公式判断中点是否在直线上即可；（2）：利用（1）中求得的点坐标，即可求得的值，从而得到椭圆的方程，：若直线斜率存在，设：，联立方程组后消去，从而问题等价于利用已知条件探求，满足的关系式，还需验证斜率不存在时是否符合轨迹方程即可.试题解析：（1）椭圆离心率，：，联立方程组或，即，：，同理可得，中点在直线上，平分线段；（2）：，椭圆的方程为；：若的斜率存在：设：，由或，即，又或，；若斜率不存在，易验证此时，综上所述，点的轨迹方程为，.考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.求轨迹方程12. 【四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试】（本小题满分为10分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)，过点P(2,1)的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B.（）求椭圆C的方程；（）是否存在直线，满足?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（）（）【解析】试题分析：（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个