2017年全国高考数学考前复习大串讲专题3.4高考中的数列与不等式问题(含答案)

题型一 等差数列、等比数列的综合问题 例 1 已知首项为 32的等比数列 是递减数列，其前 n 项和为 Sn(n N*)，且 S4 (1)求数列 通项公式； (2)设 1Sn(n N*)，求数列 最大项的值与最小项的值 【 思维升华 】 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差 (公比 )等，确定解题的顺序 (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的 【跟踪训练 1】 已知等差数列 足： 2，且 (1)求数列 通项公式； (2)记 前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 60n 800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，请说明理由 题型二 数列的通项与求和 例 2 已知数列 前 n 项和为 12， 1 n 12n (1)证明：数列 等比数列； (2)求通项 n 项的和 【解析】 (1)证明 12， 1 n 12n 当 n N*时， . 又 12， 1n 1 12(n N*)为常数， 以 12为首项， 12为公比的等比数列 (2)解 由 以 12为首项， 12为公比的等比数列， 得 12( 12)n 1， n( 12)n. 1 12 2( 12)2 3( 12)3 n( 12)n， 121(12)2 2( 12)3 (n 1)(12)n n( 12)n 1， 1212 (12)2 (12)3 (12)n n( 12)n 1 1212n 11 12 n( 12)n 1， 2 (12)n 1 n( 12)n 2 (n 2)( 12)n. 综上， n( 12)n， 2 (n 2)( 12)n. 学科 *网 【 思维升华 】 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息 (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等 【跟踪训练 2】 在等比数列 n N*)中， 1，公比 q 0，设 6， 0. (1)求 通项 (2)若 1n 求 前 n 项和 所以 14 4，14， 解得 16，q 12. 所以 16 12 n 1 25 n (n N*) (2)由 (1)知 25 n，所以 5 n (n N*)， 所以 1n n 1n n ， 所以 (1 12) (12 13) (13 14) (1n 1n 1) (1 12 12 13 13 14 1n 1n 1) (1 1n 1) 1 (n N*) 题型三 数列与其他知识的交汇 命题点 1 数列与函数的交汇 例 3 (2017 温州十校联考 )已知二次函数 f(x) 图象过点 ( 4n,0)，且 f(0) 2n，n N*，数列 足 11 f 1 4. (1)求数列 通项公式； (2)记 1，求数列 前 n 项和 4n 2(n N*) (2) 1 4n n 2 12n 1 12n 1 ， 1 2 1 13 13 15 12n 1 12n 1 2 1 12n 1 41. 命题点 2 函数与不等式的交汇 例 4 已知等差数列 ， 6， 27. (1)求数列 通项公式； (2)记数列 前 n 项和为 n 1，若对于一切正整数 n，总有 m 成立，求实数 m 的取值范围 【变式 1 已知数列 ， 2， 3，其前 n 项和 n 2 21 1(n N*)；数列 ， 1 46(n N*). (1)求数列 通项公式； (2)设 2 ( 1)n 1 2 为非零整数， n N*)，试确定 的值，使得对任意 n N*，都有 1 【 思维启迪 】 (1)先求 构造等比数列求 (2)不等式 1以转化为求函数的最值问题 . 【 思维升华 】 数列中有关项或前 n 项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前 n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解 . 【变式 2】 已知首项为 32的等比数列 前 n 项和为 Sn(n N*)，且 2 (1)求数列 通项公式； (2)证明： 1136(n N*). 【解析】 (1)设等比数列 公比为 q， 因为 2 所以 24 可得 2 是 q 12. 又 32，所以等比数列 通项公式为 32 12 n 1 ( 1)n 1 32n. 故对于 n N*，有 1136. 命题点 3 数列应用题 例 5 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红 500万元，该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元 (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元 【解析】 设 2010 n)年年底分红后的资金，其中 n N*， 则 21 000 500 1 500， 21 500 500 2 500， ， 21 500(n2) 500 2(1 500)(n2) ， 即数列 500是以 500 1 000 为首项， 2 为公比的等比数列 500 1 0002 n 1， 1 0002 n 1 500. (1) 1 0002 4 1 500 8 500， 该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元 (2)由 32 500，即 2n 1 32，得 n 6， 该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元 思维升华 数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征 ，如通项公式、前 n 项和公式或递推关系式，建立数列模型 【跟踪训练 3】