2014秋九年级数学上册第21章 一元二次方程复习课件 （新版）新人教版

1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 一般地一般地, ,任何一个关于任何一个关于x x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以 化为化为 的形式的形式, ,我们把我们把 (a,b,c(a,b,c为常数，为常数，a a00）称为称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式。 x + x - 20 = 0 2 观察方程 等号两边都是整式 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2次 这样的方程叫 一元二次方程 特征如下： 有何特征？ (1) 2x = y 2 - 1 (3) x 2- - 3 = 0 2 x (4) 3z2+1 = z (2z2 - 1) (5) x 2 = 0 结论：以上方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程 (6) ( x + 2) 2 = 4 请判断下列方程是否为一元二次方程： 1.直接开平方法 对于形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p(po)的方程可 以用直接开平方法解 2.配方法 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法 3.公式法 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法( 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0. 公式法是这样生产的 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 吗? 心动 不如行动 1.化1:把二次项系数化为1; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 2.移项:把常数项移到方程的右边; 4.分解因式法 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法. 老师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.” ax2+c=0 = ax2+bx=0 = ax2+bx+c=0 = 因式分解法 公式法（配方法） 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。 1、 直接开平方法 因式分解法 (y+ )(y- )=2(2y-3) 3t(t+2)=2(t+2) x2=4 x-11 (x+101)2-10(x+101)+9=0 比一比，看谁做得快： 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 一元二次方程的根的判别式 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac0 回顾与反思 判别式逆定理 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac0 判别式的用处 1.不解方程.判别方程根的情况, 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数 的值或取值范围, 3.进行有关的证明, 一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0） 的两个根,则有 x1+x2= , x1x2= . 案例1： 关于x的方程 有两个不相等的实数根 ，求k的取值范围。 解： 解得k 又k-10 k且k0 说一说 忽视二次项 系数不为0 案例2： 已知k为实数，解关于x的方程 解： 当k=0时，方程为3x=0, x=0 将原方程左边分解因式，得 当k0时， 说一说 忽视对方程 分类讨论 案例3： 已知实数x满足 求：代数式 解： ， ， 的值。 或 又 无实实根， 说一说 忽视根的 存在条件！ 案例4： 已知关于x的一元二次方程 有两个实根，求k的取值范围。 解：由0，可得 解得 k - 2 又k+10, k1 k 的取值范围是k1 说一说 忽视系数中 的隐含条件 案例5： 已知 ， 是方程 的两根，求 解： 的值。 说一说 忽视讨论两 根的符号！ 案例6： 已知方程 的两个实根为 、 ，设,求: 整数时S的值为1。 解：原方程整理 ， = 为非负整数。 取什么 由= 4a+10得，由得 说一说 忽视系数中的 隐含条件与 判别式 。 取整数0。 案例7： 在RtABC中，C=，斜边c=5, 的两根，求m的值 。 解：在RtABC中， C= 检验:当 时，都大于0 两直角边的长a、b是 又因为直角边a,b的长均为正所以m 的值只有7。 。 说一说 忽视实 际意义! 理一理 一元二次方程中几个容易忽视问题： 重视二次项系数不为0； 重视对方程分类讨论； 重视系数中的隐含条件； 重视根的存在条件 ； 重视讨论两根的符号； 重视根要符合实际意义。 说一说 系数 根 解应用题 列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 回顾与复习 5 5 列一元二次方程解决实际问题应注意什么？ 在实际问题中找出数学模型（即把实际问题转化为数学问题） 1.数字与方程 例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数. 数字与方程 例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这 个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位 数,两个两位数的积为763.求原来的两位数. 2.几何与方程 例1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和 15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已 知小路的面积为246cm2,求小路的宽度. 20 15 15+2x 20+2x 几何与方程 例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕 地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水 渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩 形小块,水渠应挖多宽. 几何与方程 例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一 个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗? 例1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司 缴税的年平均增长率为多少? 3.增长率与方程 基本数量关系:a(1+x)2=b 例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低 19%，那么平均每年需降低百分之几? 增长率与方程 例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次 手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是 多少? 4.美满生活与方程 某种电脑病毒传播非常快，如果 一台电脑被感染，经过两轮感染后就 会有81台电脑被感染请你用学过的 知识分析，每轮感染中平均一台电脑 会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感染的电脑会 不会超过700台？ 例2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取 出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部 按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后 本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) . 美满生活与方程 例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准 备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每 棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那 么应种多少棵桃树? 5.经济效益与方程 6.我是商场精英 例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件, 每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价 措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时, 平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200 元,每件衬衫应降价多少元? 例. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件 商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每 件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需 要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元? 7.利润与方程 回味无穷 小结 拓展 列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: a(1x