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变化率与导数问题小结一、求割线的斜率例1 过曲线上两点和作曲线的割线,求当时割线的斜率分析:割线的斜率即为函数从1到的平均变化率解:,割线的斜率为当时,设割线的斜率为,则评注:一般地,设曲线是函数的图象,是曲线上的定点,点是上与点邻近的点,有,割线的斜率为二、求平均速度例2 自由落体的运动方程班车,计算从3s到31s,301s,3001s各段内的平均速度(位移的单位为m)分析:要求平均速度,就是求的值解:设在内的平均速度为,则(s),(m)(m/s);同理,得(m/s);(m/s)评注:当的值越小时,其平均速度就越近于一个定值三、求瞬时速度例3 以初速度作竖直上抛运动的物体,秒时的高度为,求物体在时刻处的瞬时速度分析:先求出,再求出,当时,的极限即为所求解:,当时,物体在时刻处的瞬时速度为评注:求瞬时速度的实质就是求位置增量与时间增量比的极限四、利用定义求导数例4 已知,求及在处的导数分析:按求导数的步骤求解,但要注意变形的技巧解:,在处的导数为评注:函数的导数与在点处的导数不是同一概念,在点处的导数是函数的导数在处的函数值,分子有理化是解该类题重要的变形技巧之一五、创新应用问题例5已知,求适合的x值分析:要求x的值,需利用导数的定义求出,然后解方程解:由导数公式,易得,
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