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文档简介

第一节 导数概念一.导数的定义1 引例例1：变速直线运动的速度 设有一物体M，沿直线从O点开始作变速直线运动，在时刻运动到点P，与点O的距离为，求物体M在时刻的瞬时速度。 已知匀速直线运动的速度为：，来源: 变速直线运动在到这一时间段内的平均速度为，如果当时，上式的极限存在，记为，即。即为所求的物体M在时刻的瞬时速度。例2：曲线的切线问题2导数的定义 定义1：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（+仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数（微商），记作：，。即：注：（1）函数在点处可导，亦可称函数在点处的导数存在（或具有导数）。 （2）函数导数的另外两种定义：，来源:。 （3）如果不存在，称函数在点处不可导。 （4）/为函数在区间（或）上的平均变化率；而导数是因变量在点对于的变化率，反映因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。（5）根据导数的定义和极限存在的充要条件，相应地定义函数在点处右可导、左导数如下（分别记右可导、左导数为，）： ， 。且有：函数在点处可导函数在处，、都存在，= . (即函数在点处可导数的充要条件是函数在点处既右可导、有左可导)。 3函数在区间上（内）可导的概念： （1）若函数在开区间内每一点都可导，则称函数在开区间内可导。 （2）若函数在开区间内每一点都可导，且存在，则称函数在区间上可导。 （3）若函数在开区间内每一点都可导，且，存在；则称函数在闭区间上可导。 4导函数若函数在开区间内可导，则对，总有确定的与之对应，从而得到一个以为自变量的新函数，称此函数为函数的导函数，简称为导数，记为：，。二导数的几何意义：由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图： 表示函数曲线在点（处的切线的斜率。曲线上点的曲线的切线方程为：曲线上点的曲线的法线方程为：。来源:三简单函数的导数例2： 求函数（n为正整数）在处的导数更一般地,对于幂函数（为常数）,有例3： 求函数的导数即 例4：求函数的导数.解 ：=即：这就是指数函数的导数公式,特殊地,当时,因,故有： 例5：求函数的导数. 例6：求曲线在点处的切线方程五函数的可导性与连续性的关系 函数在点处可导 函数在点连续 函数在点处可导 函数在点连续。 如：在点处连续，但在点处不可导。 即函数连续是函数可导的必要条件，而非充分条件。例7：设，试确定、的值，使函数在处可导。 下一节 返回来源:来源:www.shulihua.
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