高二数学精品教案：2.2 1（选修2-2）

直接证明-综合法教学目标：1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.了解分综合法的思考过程、特点。教学重点：了解综合法的思考过程、特点教学难点：综合法的思考过程、特点合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为,所以,因为,所以.因此, .综合法：利用 已知条件 和某些数学 定义 、 定理 、 公理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。说明：（1）综合法是“由因到果”，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法，因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法；（2）综合法的格式-从已知条件出发，推证，由“已知”得“推知”，逐步推出求证的结论，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论它的常见书面表达是“”或“”。例1、在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C 因为A,B,C为ABC的内角，所以A + B + C= 来源:由 ，得B=.由a, b，c成等比数列，有.由余弦定理及，可得. 再由，得., 因此.从而A=C. 来源:由，得A=B=C=.所以ABC为等边三角形解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来说明：（1）在利用综合法证明问题时，要选择一个适合的切入点，其依据是所选式子是否与已知条件或公理、定理有比较密切的关系或形式上非常接近。 （2）综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提要正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。课堂练习答案：1. 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：证明：2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因为a，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号注意：A、对于“、三式也不能全取“=”号”一定要给出，否则结论应为；B、要提问学生“a，b，c是的正数”的含义。这是一个重要的条件，“不全相等”与“全不相等”不一样，如全（都）不相等，则三个不等式中都没有“=”号。来源: 2.如果证明：当时，有上式两端取对数，得从而 3求证：对于任意角，。证明：因为 所以，命题得证小结：来源:1综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。2在利用综合法证明问题时，要选择一个适合的切入点，其依据是所选式子是否与已知条件或公理、定理有比较密切的关系或形式上非常接近。 3综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提要正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。课外作业答案：1如果数列是等差数列，则（ ）。（A） （B） （C） （D）解析：由等差数列的性质：若m+n=p+q 则可知应填（B）。2在ABC中若b=2asinB则A等于( )(A) (B) (C) (D)解析：由正弦定理得sinB=2sinAsinBsinA=A=故应选（D）。3求证：(1); 证明：, ;将此三式相加得2,4 证明：思考：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证解析 a，b，c全不相等 与，与，与全不相等。 三式相加得 即 3已知是等比数列，且，则=C（A）6 （B）12 （C）18