高中数学北师大版必修5《等差数列的前n项和》导学案

第4课时等差数列的前n项和1.理解等差数列的前 n项和.2.应用两个等差数列的前 n项和公式解决有关等差数列的问题. 3.掌握两个等差数列的前 n项和公式的推导方法.高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一.高斯十岁时数学老师出了一道题: 1+2+3+99+100. 老师刚写完题目高斯就把解题用的小石板交给了老师,上面只有5050一个答案.当时高斯的思路和解答方法是:S=1+2+3+99+100,把加数倒序写一遍:S=100+99+98+2+1.2S=(1+100)+(2+99)+(99+2)+(100+1)=100101,S=50101=5050.问题1:利用“高斯的算法”求和:1+2+3+n.设Sn=1+2+3+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+2+1,2Sn=(1+n)+2+(n-1)+(n-1)+2+(n+1)=n(n+1),Sn=.问题2:用“倒序相加法”证明Sn=n(a1+an)2.Sn=a1+a2+a3+an-1+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d,Sn=an+an-1+an-2+a2+a1=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-2)d+an-(n-1)d,2Sn=,由此可得等差数列an的前n项和公式:.问题3:用等差数列的通项公式推导:Sn=na1+n(n-1)2d.Sn=a1+a2+a3+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d=na1+=na1+1+2+3+(n-1)d=.问题4:用定义推导Sn=nan-n(n-1)2d.Sn=an+an-1+an-2+a1=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d=nan-(d+2d+3d+(n-1)d)=.1.等差数列an中,S10=4S5,则a1d等于().A.12B.2C.14D.42.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为().A.765B.665C.763D.6633.在等差数列an中,若a4=0,a8=8,Sn为数列an的前n项和,则S11=.4.已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,求数列bn的前9项和S9 .前n项和公式中变量的求解在等差数列an中,已知a1=20,an=54,Sn=999,求d,n.考查前n项和公式Sn已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70.求an和Sn.前n项和公式Sn与n的关联若an是等差数列,首项a10,a2003+a20040,a2003a20040成立的最大自然数n是多少?已知数列an为等差数列.(1)a1=56,d=16,Sn=30,求n及an;(2)d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn.设Sn是等差数列an的前n项和,已知13S314S4=(15S5)2,13S3与14S4的等差中项为1,求数列an的通项公式.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22.(1)求数列an的前n项和公式Sn;(2)若数列bn是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.1.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于().A.8B.7C.6D.52.设数列an和bn都是等差数列,且a1=10,b1=30,a2+b2=40,则数列an+bn的前10项的和为().A.100B.300C.400D.8003.一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+a2n-1=90,a2+a4+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是.4.在等差数列an中,a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52+a80.(2013年新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于().A.3B.4C.5D.6考题变式(我来改编):第4课时等差数列的前n项和知识体系梳理问题1:n(n+1)2问题2:(a1+an)nSn=n(a1+an)2问题3:d+2d+3d+(n-1)dna1+n(n-1)2d问题4:nan-n(n-1)2d基础学习交流1.A由题意得:10a1+12109d=4(5a1+1254d),10a1+45d=20a1+40d,10a1=5d,a1d=12.2.B由题意可知,所有被7除余2的数可构成一等差数列,设为an.a1=2,d=7,an=2+(n-1)7100,解得n0,即使na1+n(n-1)2d0,这样很难求出a1,d.由题可判断a20030,a20040,故使前n项和Sn0成立的最大自然数n=4005.问题上述解法正确吗?结论不正确.此题在运用等差数列前n项和的性质及图像时忽视了a2003和a2004两项的大小.于是,正确解答如下:a10,a2003+a20040,a2003a2004|a2004|,在等差数列an中,a2003+a2004=a1+a40060,S4006=4006(a1+a4006)20,使Sn0成立的最大自然数n是4006. 【小结】此题还要看清楚是求Sn0成立的最大自然数n,而不是Sn的最大值.思维拓展应用应用一:(1)由题意得5n6+n(n-1)12=30,解得n=15,an=a15=a1+(n-1)d=196.(2)a15=-10,a15=a1+14d,a1=-38,Sn=S15=15(a1+a15)2=-360.应用二:由已知得13S314S4=(15S5)2,13S3+14S4=2,即3a1d+5d2=0,2a1+52d=2,解得d=0,a1=1,或d=-125,a1=4,an=1或an=325-125n.经验证an=1或an=325-125n均满足题意,即为所求.应用三:(1)设等差数列an的公差为d,且d0.a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d0,a3a4,a3=9,a4=13.a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4,Sn=n1+n(n-1)24=2n2-n.(2)由(1)知,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.bn是等差数列,2b2=b1+b3,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去).基础智能检测1.DSk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=21+(2k+1)2=4k+4=24,k=5.2.C由题知,数列an+bn为等差数列,其公差为0,故前10项的和为400,选C.3.-3由a1+a3+a2n-1=na1+n(n-1)2(2d)=90,a2+a4+a2n=na2+n(n-1)2(2d)=72,得nd=-18.又a1-a2n=-(2n-1)d=33,解得d=-3.4.解:a4=0.8,a11=2.2,由a11=a4+7d,得d=0.2,a51=a11+40d=10.2