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邱关源第五版 全部课件 第七章 一阶电路的时域分析 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响 应求解； 3. 一阶电路的三要素求解。 1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 重点 7-1 动态电路的方程及其初始条件 一.动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 1.过渡过程： 当动态电路的结构或元件的参数发生变化时， 需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。 例 + - us R1 R2 （t=0） i 0 t i 过渡期为零 电阻电路 K未动作前，电路处于稳定状态 i = 0 , uC = 0 i = 0 , uC= Us K + uCUs R C i (t = 0) K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态 + uCUs R C i (t ) 前一个稳定状态 过渡状态 新的稳定状态 t1 US uc t 0 ? i 有一过渡期 电容电路 K未动作前，电路处于稳定状态 i = 0 , uL = 0 uL= 0, i=Us /R K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路 前一个稳定状态 过渡状态 新的稳定状态 t1 US/R i t 0 ? UL 有一过渡期 K + uLUs R L i (t = 0) + uLUs R L i (t ) 电感电路 过渡过程产生的原因： 电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 t = 0与t = 0的概念 认为换路在 t = 0时刻进行 0 换路前最终时刻 0 换路后最初时刻 初始条件为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值。 000 t f(t) 电路结构、状态发生变化 2. 换路： 支路接入或断开 电路参数变化 3.一阶电路 动态元件： 电容： 电感： 根据KCL、KVL、VCR建立的方程是以u 和 i 为变量的微积 分方程，无源元件均为线性、非时变。 对于只含一个储能元件 ，电路方程是一阶线性常微分方 程 ，相应的电路称为一阶电路。 描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶 数等于电路中动态元件的个数。 求解微分方程： 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。 动态电路的分析方法： 根据KVl、KCL和VCR建立微分方程： 本章采用时域分析法：经典法 二. 电路的初始条件 1.换路定则独立初始条件的确定 电容的初始条件： t = 0+时刻，当i()为有限值时 i uc C + - q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0) 0 q =C uC 电荷守恒 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 结论： 电感的初始条件： 当u为有限值时 L (0)= L (0) iL(0)= iL(0) i u L + - L t = 0+时刻 0 磁链守恒 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 结论： iL(0+)= iL(0) uC (0+) = uC (0)： 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 换路定则： （1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 注意: （2）换路定则反映了能量不能跃变。 2. 非独立的初始条件 除电容电压、电感电流外，其它初始条件都为非独立初始条 件，都可以跃变。根据以求得的uc（0+）和iL（0+）及KVL、 KCL求之。 求 初 始 值 的 步 骤 : 1). 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)； 2). 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3). 画0+等效电路。 b.电容用电压源、电感用电流源替代。 a. 换路后的电路 （取0+时刻值，方向与原假定的方向相同）。 4). 由0+电路求所需各变量的0+值。 (2) 由换路定则 uC (0+) = uC (0)=8V + - 10V i iC + 8V - 10k 0+等效电路 (1) 由0电路求 uC(0) + - 10V + uC - 10k 40k uC(0)=8V (3) 由0+等效电路求 iC(0+) iC(0)=0 iC(0+) 例1：求 iC(0+) + - 10V i iC + uC - k 10k 40k 电 容 开 路 电容用电 压源替代 iL(0+)= iL(0) =2A 例 2 t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) iL + uL - L 10V K 14 + uL - 10V 14 0+电路 2A 先求 由换路定则: 电感用电 流源替代 10V 14 解 电 感 短 路 确定初始条件 例 : + - + (t=0)K + 10A 2 1 2 t 0- 0+ 5A10V05A0010V 5A10V00-10A-10V15A + - (t=0)K + 10A 2 1 2 + + - 例4: iL + uL - L K 2 + - 48V 3 2 C 求K闭合瞬间各支路电流和电感电压。 解 由0电路得： 12A 24V + - 48V 3 2 + - i iC + - uL 由0+电路得： iL 2 + - 48V 3 2 + uC 一. RC电路的零输入响应 7-2 一阶电路的零输入响应 换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。 零输入响应 已知 uC (0)=U0 特征根 特征方程 RCp+1=0通解： uR= Ri i K(t=0) + uR C + uC R 方程: 代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0 A=U0 i + uR C + uC R t U0 uC 0 I0 t i 0 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 从以上各式可以得出： 连续 函数 跃变 （2）响应的衰减快慢与RC有关； 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 U0 t uc 0 小 大 工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t 0 2 3 5 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 （3）能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕. 设uC(0+)=U0 电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量： uCR + C 例: 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后， 电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解 : 这是一个求一阶RC 零输 入响应问题，有： i3 K 3 + uC 2 6 5F i2 i1 + uC 4 5F i1 t 0等效电路 分流得： 二. RL电路的零输入响应 特征方程: Lp+R=0 特征根: 代入初始值 i (0+)= I0A= i(0+)= I0 i K(t=0) US L + uL RR1 t 0 i L + uL R 方程: -RI0 uL t t I0 iL 0 从以上式子可以得出： 连续 函数 跃变 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； i L + uL R 令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R （2）响应的衰减快慢与L/R有关； （3）能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕. 设iL(0+)=I0 电感放出能量： 电阻吸收（消耗）能量： i L + uL R iL (0+) = iL(0) = 1 A uV (0+)= 10000V 造成 V 损坏。 例1:t=0时 , 打开开关K，求uv。电压表量程：50V 解 : iL L R 10V iL K(t=0) + uV L=4H R=10 V RV 10k 10V 例2:如图，求电感电压和电流及开关两端电压u12。 解 : iL K(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 t 0 i L + uL R 小结: 1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数 ： RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 iL(0+)= iL(0) uC (0+) = uC (0) RC电路 RL电路 一.RC电路的零状态响应 7-3 一阶电路的零状态响应 动态元件初始能量为零，由t 0电路 中外加输入激励作用所产生的响应。 零状态响应 列方程： i K(t=0) US + uR C + uC R uC (0)=0 非齐次线性常微分方程 其解为： 齐次方程通解非齐次方程特解 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。 变化规律由电路参数和结构决定。 全解 uC (0+)=A+US= 0 A= US 由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A： 的通解 通解（自由分量，暂态分量） 特解（强制分量，稳态分量） 的特解 -US u ”C uC US t i 0 t uc 0 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成： 连续 函数 跃变 稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量） + i K(t=0) US + uR C + uC R uC (0)=0 （2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定； 大，充电 慢， 小充电就快。 （3）能量关系 电容储存： 电源提供能量： 电阻消耗 R C + - US 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 量储存在电容中。 二.RL电路的零状态响应 iLK(t=0) US + uR L + uL R 已知iL(0)=0，电路方程为： t uL US t iL 0 0 小结: 1.一阶电路的零状态响应是由储能元件的初值为零,由外加输 入激励作用所产生的响应。 iL( )= US /R uC () = US RC电路 RL电路 3. 其他支路的电压和电流，则可以按照变换前的原电路进行 2. 求解电路由储能元件、电阻和独立电源或受控源组成，把储 能元件以外的部分，应用戴维宁或诺顿定理等效变换，然后求得 储能元件上的电压和电流， 中的电阻即为等效电阻Req 例1 t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0， 求（1）电容电压和电流;（2）uC80V时的充电时间t 。 解 : 500 10F + - 100V K + uC i (1) 这是一个RC电路零状态响应 问题，有： （2）设经过t1秒，uC80V 例2 t=0时 ,开关K 打开，求t0后iL、uL的值及电流源的端电压。 解 这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有： iL K + uL 2H 10 2A 10 5 + u t 0 iL + uL 2H US Req + 一. 全响应 7-4 一阶电路的全响应 电路的初始状态不为零，同时又有外加 激励源作用时电路中产生的响应。 全响应 i K(t=0) US + uR C + uC R 解答为 uC(t) = uC + uC“ 以RC电路为例，电路微分方程： =RC 稳态解 uC = US 暂态解 uC (0)=U0 解为 uC(t) = uC + uC” =US + 强制分量(稳态解) 自由分量(暂态解) uC (0- )=U0 uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US 由起始值定A i K(t=0) US + uR C + uC R 解为 uC(t) = uC + uC ”=US + 二. 全响应的两种分解方式 uC“ -USU0 暂态解 uCUS 稳态解 U0 uc 全解 t uc 0 全响应 = 强制分量(稳态解 ) + 自由分量(暂态解) （1） 着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰 i K(t=0) US + uR C + uC R uC (0)=U0 i K(t=0) US + uR C + uC R = uC (0)=0 + uC (0)=U0 C + uC i K(t=0) + uR R 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 (2) 着眼于因果关系 便于叠加计算 零输入响应 零状态响应 零状态响应 零输入响应 t uc 0 US 零状态响应 零输入响应 U0 全响应 例t=0时 ,开关K打开，求 t 0后的iL、uL 解 这是一个RL电路全响应问 题，有： iL K(t=0) + 24V 0.6H 4 + uL 8 零输入响应： 零状态响应： 全响应： 或求出稳态分量： 全响应： 代入初值有： iL K(t=0) + 24V 0.6H 4 + uL 8 三. 三要素法分析一阶电路 一阶电路的数学模型是一阶微分方程： 令 t = 0+， 其解答一般形式为： 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。 用0+等效电路求解 用t的稳态电路求解 直流激励时： 中的电阻即为戴维宁 等效电阻Req 例1 t=0时 ,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2。 解1： 三要素为： iL + 20V 0.5H 55 + 10V i2 i1 应用三要素公式 所有所求量均用三要素求解： + 20V 2A 55 + 10V i2 i1 0等效电路 解2： 叠加 : iL + 20V 0.5 H 55 + 10V i2 i1 例2已知：t =0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。 解三要素为： + 1H 0.25F 5 2 S 10V i + iL 例3已知：t =0时开关由12，求换路后的uC(t) 。 2A 4 1 0.1F + uC + 4 i1 2i1 8V + 1 2 解三要素为： 4 + 4 i1 2i1 u + ReqC + - uOC 7-5 一阶电路的阶跃响应 一.阶跃信号及其单边性 1.单位阶跃信号的定义 2.波形 0 t (t) 1 相当于0时刻接入电路的单位电压源或单位电流源 若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关： k：阶跃信号强度。 10（V）10（t）（V） k（V）k（t）（V）， 例如 ： 3. 实际意义:用来描述开关动作，可以作为开关的数学模型。 1V + N0 K(t=0)K(t=0) 1A + N0 R k(t) + C 4. 延迟单位阶跃信号 0 t (t -t0 ) t 0 1 5阶跃信号的单边性 （截取信号的特性，或起始一个函数） 若用(t-t0）去乘任何信号，都使其在t T, uC为输出 t 0 uC T uC输出波形近似为锯齿波。 uR 7-6 一阶电路的冲激响应 一、冲激函数 电路对于单位冲激函数的零状态响应称为单位冲激响应。 1、单位冲激函数 2、 是对单位脉冲函数的一种极限 单位脉冲函数： t o p(t) 1/ 面积： t o (t) 1 在时刻发生强度为的冲击函数： （2）单位冲激函数的“筛分性质” 3、冲激函数两个主要性质 （1）单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数 或阶跃函数 对时间的导数等于冲击函数: 电容电压： 电容电压从零跃变到1V。 (1)当把一个单位冲激电流i(t)加到初始电压为零，且C=1F的电容， 4、冲激引起的响应的初始值的确定 (2)当把一个单位冲激电压u(t)加到初始电流为零，且L=1H的电感， 电感电流： 电感电流从零跃变到1A。 二、冲激响应 当冲激函数作用于零状态的一阶RC或RL电路，电路中将产 生相当于初始状态