固体电子学导论（1）ppt课件

岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系 固体电子学导论 概述 量子力学 统计力学 固体物理 半导体物理 固体电子学导论 第一章 微观粒子的状态 第二章 晶体中电子的状态 第三章 晶体中原子的状态 第四章 常见晶体的结构及物理性质 主要章节 量子力学 统计物理 固 体 物 理 粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 粒子运动状态：指力学运动状态。 经典描述：遵从经典力学的运动规律。 量子描述：遵从量子力学的运动规律。 1.1 粒子运动状态的描述 第一章 微观粒子的状态 在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自 变量的能量函数写成H（哈密顿）函数 粒子的运动满足正则运动方程 一组 数值完全确定了这个系统的一个运动 状态，这就是微观观运动动状态态。 1.1 粒子运动状态的描述 微观观运动动状态态的描述：使用粒子坐标和动量的描述 方法，也可借助几何表示法讨论力学体系运动状态。 空间性质： i) 空间是人为想象出来的超越空间，是个相空间。引 进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化，以 便于进行统计。空间中的一个代表点是一个粒子的微 观运动状态而不是一个粒子。 ii) 在经典力学范围，在无相互作用的独立粒子系统中 ，任何粒子总可找到和它相应的空间来形象地描述它 的运动状态，但不是所有的粒子的运动状态可以在同 一空间中描述。 1.1.1 空间(相空间) 1. 粒子运动状态的经典描述（坐标，动量） 粒子自由度 力学运动状态 哈密顿量 r个广义坐标 r个广义动量 空间 (2r维相空间) 自由度 r 单粒子状态 及其演变过程 空间中的 点和曲线 n-粒子的数目， s-束缚条件个数 空间空间: 6: 6维维 以以1 1维自由粒子为例维自由粒子为例: : 空间为空间为2 2维，如右图所示。维，如右图所示。 2. 例子自由粒子 自由粒子：不受外力作用而自由运动的粒子。以单 原子分子为例，有3个自由度，设其质量为m，需要6 个量确定它的运动状态。 3.例子线性谐振子 分子内原子的振动，晶 体中原子或离子在其平 衡位置附近的振动都可 看作简谐运动。 弹性力 ： 圆频率 ： 能量恒定的轨迹为椭圆 3.例子线性谐振子 自由度：自由度： 广义坐标：广义坐标： 广义动量：广义动量： 动能：动能： 1. 经典物理 成 就 举 例 牛顿力学支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立把光和电磁现象建立在牢固 的基础上； 统计力学的建立引入统计方法，关注大量粒子运 动的整体效果。 1.1.2 微观粒子的量子描述量子力学 一旦深入到分子、原子领域，一些实验事实和经典理论发生矛 盾或无法理解。 黑体辐射、光电效应、氢原子光谱 存在与经典物理学的概念完全不相容的崭新的实验事实 a. 辐射的微粒性； b. 物质粒子的波动性； c. 物理量的“量子化”，即测量值取分立值或某些确定值 2. 量子的发现 3. 量子力学的诞生 什么是量子力学? 研究微观粒子运动规律的理论 微观粒子：分子、原子、原子核(质子、中子)、 电子、光子等。 德布罗意：物质波假设 海森堡：矩阵形式的量子理论 等价 薛定谔 泡利 约尔 证明 4. 正统解释波函数 波动方程矩阵力学 连续的波分立的粒子 1). 概率波原理 波恩解释：波函数的统计意义是波函数在空间某一点 的强度 和在该点找到粒子的几率成正比。 实验证明 对于一个电子虽然不能知道它一定在照片上哪一 点出现，但由波函数的强度分布，可知道它在照片上 各点出现的几率。-波恩解释。 2). 测不准原理 海森堡提出测不准原理（不确定性原理），解释波动性和粒子 性实验现象的矛盾起源。 P 动量，q位置 E能量， t时间推论 例，电子的单缝衍射 实验 h=6.62610-34 J.S - 普朗克常数 判定常数：h=6.62610-34 J.S - 普朗克常数 量子力学的应用范围 体系的作用量= 能量 时间 = 动量 长度 =角动量角度 体系的作用量与体系的作用量与h h相比拟时相比拟时, ,经典力学不再适用。经典力学不再适用。 测不准原理并提供了衡量微观问题和宏观问题的界限 例一:氢原子中的电子 与电子本身运动的速度相比是同一数量级. 基态 v108厘米/秒， x10-8厘米， m=910-28克， h=6.63 10-27尔格秒 例二:阴极射线管中的电子束,电子速度v108厘米/秒,设 测量电子速度的精度为千分之一,即 v105厘米/秒 该值在阴极射线管实验的精度要求下可以忽略.同样是 电子,这种条件下,可以当作经典粒子来处理. 3). 互补原理 波尔：一些经典概念的应用不可避免的排除另一些经典 概念的应用。 波动性和粒子性互补。真正的物质特性只有一个，波粒二象性 。但每次测量中只可能表现出一面。 电子双缝干 涉实验 坍缩：许多科学家相信，量 子态是无法精确测量的。一 旦被测量，量子物体就会发 生“坍缩”，从拥有多种可能 位置的状态变成类似经典物 体的单一位置。 1.2 单个微观粒子的状态定态薛定谔方程 多质点体系动力学的普适动力学方程拉格朗日方 程 拉格朗日力学 哈密顿力学 演变启发 薛定谔方程 函数H称为哈密顿量或者能量函数 哈密顿正则方程 哈密顿雅可比方程 一. 哈密顿力学 微观粒子的运动方程 二.薛定谔方程 薛定谔(奥地利) Erwin Schrodinger (1887-1961) 薛定谔的猫 1.薛定谔方程的一般表示式 自由粒子 非自由粒子？ 三维？ 三维 能量算符 自由粒子： 力场中的粒子： 归一化常数 推论：推论： 对应的相对概率分布对应的相对概率分布 相同，描述相同的状态。相同，描述相同的状态。 （r，t）称为归一化波函数 其中波函数满足归一化条件 例 一维运动的粒子，描写其状态的波函数为 E和a是确定的常数，A是任意常数，求（1）归一化 波函数；（2）几率分布密度；（3）粒子在何处出 现的几率最大？ 当粒子或系统受到外界不随时间变化的作用,即势 函数V (r)不依赖时间变化-定态. 2. 定态薛定谔方程 =E -定态薛定谔方程 最后得: 波函数应满足的标准化条件 (1)波函数是有限的. (2)波函数是单值的. (3)波函数以及它对坐标的一阶微商是连续的. 三. 物理量与算符 1.算符 经典：基本物理量位置 r、动量p、势能v 量子：位置算符 、动量算符 、势能算符 不确定 由定态薛定谔方程看出： 哈密顿量H=T+V哈密顿算符 动能算符 势能算符 衍生算符 角动量算符动能算符 能量算符（哈密顿算符） 力算符 速度算符加速度算符 基本算符 2.概率波与经典物理量 微观粒子的观测量=该量的平均值 任一函数f的平均值可表示为： 例： 位置的平均值 动量的平均值 概率分布随时间变化规律 概率流密度 由含时间的薛定谔方程得到 概率流密度 上式两边同乘m 质量守恒定律 上式两边同乘e 电荷守恒定律 上式两边同乘N 粒子数守恒定律 1.一维无限深势阱 2.一维线性谐振子 3.氢原子 4.势垒贯穿 四.定态问题的几个实例 熟悉微观粒子波函数的求解,分析所得结果的物理意义, 初步了解微观粒子运动的主要规律。 定态薛定谔方程 一维无限深势阱一维线性谐振子氢原子势垒贯穿 1 .一维无限深势阱 在区，U（X）=0，则定态薛定谔方程为 再利用归一化条件： 利用波函数连续条件 ： 最后得： 结果分析： （3） * 能级分布不均匀。 *能量量子化与阱宽a有密切关系。 *n时，能级密集分布，趋于经典情况。 （1）能量量子化。 （2）最小能量不为零。 2.一维线性谐振子 将V(x)代入定态薛定谔方程，得 m为振子质量， 为振动的角频率 势能 渐近方程为 令 有 最后解得： （1）能量量子化。 （2）最小能量不为零。 （3） En=h能量等间距分布 结果分析： （4）不同的n对应不同波函数，n很大时，趋于经典情况 （4）n很大时趋于经典情况 由于氢原子中的电子是微观粒子，具有波粒二象性 ，不能用经典力学的方法描述它。要正确地描述电子 在氢原子中的运动，必须采用量子力学的方法。 氢原子中电子的薛定谔方程 坐标原点: 原子核 电子受力: 原子核的库仑力场 势能零点: 无穷远处 则其势能 函数为： 3 3. . 氢原子 将U的值代入定态薛定谔方程，可得： 求解方程,得 电子势能U具有球对称性，故用球坐标r，代替x，y，z ，其关系式为： 代入定态薛定谔方程，得： 分离变量法 式中的ml和l都是常数 氢原子的问题可简化为上面三个常微分方程的求解。 解得R(r)，、()、()，将它们的乘积进行归 一化后，即得氢原子的波函数。 求解方程,得 （1）能量量子化和主量子数n 三个量子数及其物理意义 要使方程有满足标准化的解，E只能取分立值： n称为主量子数 结论 （2）角动量量子化和角量子数 经典:角动量 算符 : 称为轨道量子数或角量子数，也称副量子数。 角动量也是量子化的 球坐标 （3）角动量的空间量子化和磁量子数ml 仅给出它的大小而没有指出方向。 角动量 是一个矢量。 角动量 在外磁场方向（取Z轴方向）的投影LZ只 能取以下分立的值： 只能取： 称为磁量子数 如图画出了 时， 五种 可能 Zm 2 1 0 1 2 处于外磁场中的原子，其能级将发生分裂，其 分裂成的次能级级数决定于角量子数和磁量子数。 实验事实一 塞曼效应 磁场与原子磁矩 的相互作用 能级简并度 n一定，l 和 ml有n2个不同组合，即对应氢原子的某一 能级En，有n2个不同的状态。氢原子的En能级出现n2 度简并。 无磁场有磁场 N S 电子的自旋 1921年，史特恩和革拉赫发 现在非均匀磁场中一些处于s态 的原子射线束，一束分为两束的 现象。 实验事实一 处于S态，其轨道角动量为零，从而无轨道磁矩。 除了轨道磁矩之外，原子内还有另外一种也 是分立的磁矩存在。这种运动就是自旋。 结论 人为规定 :S-自旋角动量且遵从量子化条件： S空间的取向也是量子化的，S在外场方向上的分量 SZ只能取下列值： 鉴于上述一线分裂成两线的事实，所以有： 于是有： s自旋量子数 mS 自旋磁量子数，它只能取（2s+1）个值）。 电子的自旋角动量只能取一个确定的值： 自旋角动量在外场方向只有两个取向： 结论 四个量子数 综上所述，原子中电子的运动应该由四个量子数来定。 主量子数 。决定电子能量的主要部分 角量子数 决定电子轨道角动量 磁量子数 决定轨道角动量的 空间取向， 自旋磁量子数 决定自旋角动量的空间取向 为负时，称为自旋向下,为正时，称为自旋向上。 泡利不相容原理 一个原子内部不可能同时有两个或两个以上的电 子具有完全相同的量子数。 成功解释了为何原子各壳层容纳的电子数不一样 前三个定态问题都是束缚态问题，现在要讨论 的是另一 类问题。 按照经典力学的观点 ，区是粒子不可能到达 的区域。量子力学可以证 明，即使EU时，粒子也 有一定的几率穿过势垒而 到达区。 4 4、势垒贯穿 相应地解分别为： 结论：微观粒子的能量EU0时，存在穿透势垒 的可能性。穿透系数由m、（ U0 -E）以及a决定 。 势垒穿透（也称隧穿效应）是一种微观效应，是 微观粒子波动性的典型表现， 在探针和样品之间加上电压。当我们移动探针逼近样品并 在反馈电路的控制下使二者之间的距离保持在小于1纳米的范 围时，根据隧道效应现象，探针和样品之间产生隧道电流。 隧道针尖三维扫描控制器 应用举例 格尔德宾宁(和海因里希罗雷尔)于1981年34岁时 在IBM公司在苏黎世研究实验室研发成功，1983 年获得德国最优秀青年物理学家，1986年，他们 和恩斯特鲁斯卡（电子显微镜的发明者）共同 获得诺贝尔物理学奖 隧道电流对距离非常敏感。当移动探针在水平方向 有规律的运动时，探针下面有原子的地方隧道电流 就强，而无原子的地方电流就相对弱一些。把隧道 电流的这个变化记录下来，再输入到计算机进行处 理和显示，就可以得到样品表面原子级分辨率的图 象。 任意形状势垒 例,各向同性的介质在外电场中的极化问题 质量为 、电荷为e 的离子是在平衡位置附近作简谐振动 。现沿x轴方向加一均匀电场 ，则离子在此方向 为： 五. 微扰问题 电中性介质的”分子”可以看成 是正负电荷的复合体,在平衡位 置做小振动,外场下,正负电荷平 均位置发生位移,不在重合. 微扰 定态薛定谔方程 （1） 设 （2） （3） （4） 将（2）、（3）、（4）代入（1）式，比较两 端同级的量 零级近似 一级近似 二级近似 （5） （6） （7） 下面逐级求解。 求解微扰问题，必须分两种情况考虑： 无微扰时体系处于非简并态（ 非简并） （1）非简并微扰 （2）简并微扰 无微扰时体系出于简并态（ 是简并的）无微扰时体系出于简并态（ 是简并的） (1)求任一非简并能级k的零级近似：(如,谐振子) 代入上式，并注意到 (2)求任一非简并能级k的一级近似： 将 1.非简并定态微扰 则 得 式中， （8） 两端左乘 并积分，且考虑到本征函数的正交归一性 两端左乘 并积分，且考虑到本征函数的正交归一性 微扰矩阵元 它是微扰在零级波函数下的平均值。 时，由（8）式得 时，由（8）式得 （8）式: 那么，能量和波函数的一级近似为： 式中求和号中不包含n=k的项。 （3）求任一非简并能级k的二级近似： 设 两端左乘 并积分，且考虑到本征函数的正 交归一性 代入二级近似方程 则 可求得能量的二级近似： 零级一级修正二级修正 非简并微扰适用的条件是： 各向同性的介质在外电场中的极化 例 质量为 、电荷为e 的离子是在平衡位置附近作简谐振 动。现沿x轴方向加一均匀电场 ，则离子在此方向 为 ： 设 的 能级有f度简并,将f 个波函数记成 (i=1,2,3), (1)式代入(2)式中, 2.简并定态微扰 只考虑零级近似波函数与一级能量修正: 两端左乘 并积分 上式是以系数 为未知数的一次齐次方程组 ，它有非零解的条件是系数行列式为零 i=1i=2i=f m=1 m=2 m=f 这是 的f次方程，称为久期方程。 解此方程可得到 的f个根（可能有重根）。 每个 代入前面的线性方程组都能求出一组 ，从而确定一个 。 结论：如果每个根 都不相等，则表示原来f重 简并的无微扰能级 ，在微扰的作用下能级发 生了分裂，全部消除了简并。否则，简并只是部 分消除，而重根的零级波函数就不能完全确定， 需进一步考虑能量的二级修正。 例，氢原子的一级stark 效应，简并微扰的应用 斯塔克效应：氢原子的光谱线在外电场的作用下产 生分裂的现象。 相比于原子的微小尺度，外电场可看作是均 匀的，取为z 方向。所以电子(-e) 在外电场 中的 势能为 考察n=2 的情况 n=2 f=4 小 结 设 非简并情况： 简并情况：f ? 波函数的零级修正 能量的一级修正 1.3. 大量微观粒子的状态 波函数：1(x), 2(x), 3(x) 模的平方反映了 某个粒子在位置空间出现的几率. 即粒子关于空间的 分布. 本节要讨论的三个统计分布是大量近独立的微观 粒子构成的平衡态孤立系统中,粒子按能量的分布规 律. 微观粒子的个体运动大量粒子的集体表现 统计方法 系统中的粒子可处于 一系列分立能级: 1、2、3、i上 每个能级的量子态数(简并度):g1、g2、g3,gi.gn 每个能级分布的粒子数：n1、n2、n3,ni.nn 分布函数 三个分布: (1)麦克斯韦-玻尔兹曼分布(M-B) (2)费米-狄拉克分布(F-D) (3)玻色-爱因斯坦分布(B-E) 量子统计分布 -经典统计分布 F-D B-D 经典统计：粒子是可区分的。 量子统计：粒子是全同、 不可区分的。 服从泡利不相容原理 。 不服从泡利不相容原理 。 （1） 宏观态与微观态 （2） 等几率假设 （3） 最可几分布 几个概念 一.统计分析原理 设四个同样的小球,标以a、b、c、d，放在一箱子内，杂乱地 摇动箱子后我们来观察小球在箱子中的分布。 分布（宏观态） a b c d a c b d a d c b b c a d b d a c d c a b a b c d ab c d b a c d c a b d d a b c b c d a a c d b a b d c a b c d