带高频信息及交互效应的波动率模型

带高频信息及交互效应的波动率模型-金融银行论文带高频信息及交互效应的波动率模型 施雅丰1；陶祥兴2 （1.上海财经大学统计与管理学院，上海200433 ；2.浙江科技学院理学院，浙江 杭州 310023） 摘要：本文利用股票市场的高频数据波动率预测，采用隔夜波动率和交易时段波动率预测模型，其中，隔夜波动率模型考虑了周末效应对波动率的影响，在交易时段波动率模型中，“已实现波动率”采用基于周平均收益率的函数系数形式，以考察短期收益与高频信息的交互影响，建立了函数系数GARCH 模型。基于上证综指的实证分析显示，隔夜波动率存在明显的周末效应，交易时段波动率“杠杆效应”显著，短期收益与高频信息存在显著的非线性交互作用。 关键词：波动率预测；隔夜波动率；周末效应 中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号:1003-9031（2015）02-0004-07 DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2015.02.01杭州310023） 基金项目：国家自然科学基金项目“调和分析及在偏微分方程中若干交叉问题的研究”（11171306）；浙江省自然科学基金“金融期权模型和分形随机方程的若干问题研究”（LY12A01024）。 收稿日期：2014-12-02 作者简介：施雅丰（1979-），男，广东海丰人，上海财经大学统计与管理学院博士研究生；陶祥兴（1966-），男，浙江台州人，理学博士，浙江科技学院理学院教授、硕士生导师。 一、引言 股市的波动及相关特征是金融领域的一个重要主题和研究热点，它在有效资产组合的选择、金融衍生工具的定价及金融风险管理中起到了关键的作用。例如，在期权定价方面，标的资产的波动率是决定期权价格的一个重要变量；在风险管理方面，条件VaR（value at risk）的计算，都会涉及到波动率的估计和预测。当前和今后的一段时间内，我国将不断的推出新的金融产品以优化金融市场产品结构，这些金融产品的估值和监管者对其风险的管控都或多或少地涉及其波动率这一关键变量波动率准确的估计和预测对我国金融市场健康发展和平稳运行具有现实意义。 自Engle（1982）提出的ARCH 模型以来涌现大量关于波动率的研究成果1。最具代表性的有Boller原slev（1986）提出的GARCH 模型，它能较好地刻画波动率的长相关性和丛簇（cluster）等特征2。此后根据波动率其他特征扩展出许多模型如为了使模型能很好刻画收益率对波动率的非对称影响，Nelson（1991）提出了指数GARCH或称EGARCH模型等。这些模型在低频时间序列领域有很成功的表现，同时其建模思想也对高频数据的建模有着重要的影响3。 高频数据的出现和“已实现波动率”（realized volatil原ity）估计方法的成熟使得波动率预测出现新机遇4-7。鉴于“已实现波动率”与波动率的密切关系和GARCH模型框架在日波动率建模的成功表现，如何将“已实现波动率”和传统的GARCH 模型框架结合起来成为波动率建模中的一个热点。Engle（2002）和Lu（2005）将“已实现波动率”作为一个外生变量直接加入到GARCH 模型，建立GARCH-X模型8-9。为了解决使用GARCH-X 模型进行多期预测时“已实现波动率”的预测的问题及融入日内极差，Engle（2006）和Shephard and Sheppard（2010）分别在GARCH-X模型的基础提出了MEM(Multiple Error Models)模型和HEAVY 模型，这两个模型都要对“已实现波动率”或日内极差的条件方差进行建模10-11。由于其条件方差是不可观测的，故难以评价模型拟合度。为了避免需要对过多潜在变量建模的问题，最近Hansen（2012）等在GARCH-X 模型的基础上对“已实现波动率”和波动率的关系进行模型假设建立Realized GARCH 模型12。在其建立的测度方程中存在“已实现波动率”非对称性与同期波动率的非对称性互相抵消而不能刻画波动率非对称性的问题。国内类似的研究主要有，王天一和黄卓（2012）考察了厚尾残差的Realized GARCH模型，但其实证表明厚尾现象并不明显13；杨科和陈浪南（2012）和文凤华（2012）等分别研究了“已实现波动率”预测问题14-15。 我国市场交易实行T+1，只要进入市场就必须面对隔夜波动带来的风险，而且隔夜收益率与交易时段收益率的波动率长相关性等特征存在明显差异，故不能只专注于交易时段的波动率预测。为此，本文沿用Ander原sen（2011a）等提出的思想：把一整天的波动率分为隔夜波动率和交易时段波动率两部分分别建模，并根据我国市场的实际对原有模型进行完善16。由于隔夜时段的市场处在非交易时段信息的到达不能立刻在市场得以体现和被观测，同时也不存在高频数据可利用，故把它们分开进行建模有其合理性。按照Ross（1989）的观点，波动率可以看做信息流的度量，因周末较长时间的休市当然也累计了较多的信息，这必将导致隔夜收益在周末波动比较大，故在进行隔夜收益波动率建模时我们考虑了周末效应的影响17。 现有的研究结果表明基于高频信息的“已实现波动率”对波动率有很强的预测作用。周收益率为代表的短期收益能反映近期市场行情，而市场行情的改变常常会导致结构突变等问题。同时注意到，在现有的波动率预测模型中用于波动率预测的信息都采用叠加的形式（addi原tive），而信息之间的交互作用（interactive）一直没被考虑。为此，本文建立“已实现波动率”的系数为周收益率的函数的函数系数预测模型以考察短期收益与高频信息在预测波动率时的交互作用，并部分缓解结构突变问题和提高预测精度。 二、模型构建 本文考虑当前最常见的资产价格模型（由于考虑是超额收益率，所以模型中剔除了趋势项） （一）隔夜波动率模型 通过分析上海股票市场的隔夜收益率平方生存函数，发现周一淤的隔夜收益率平方明显的大于其他时间的，对周一的数据伸缩变换比对其进行平移变换更能消除这种周末效应，故采用式（6）来刻画周末效应的影响。 其中，Mt为哑变量t为周一时取1，其它为0，姿为未知参数。 在式（7）中加入前一天的已实现波动率和收益率，是为了考察前一天的市场波动情况和收益情况对隔夜波动率影响的大小。由于数据有迹象表明绝对值比其平方表现出有更强的序列相关性，因此，采用的绝对值，而不是的平方，综合式（6）、式（7）有 （二）交易时段波动率模型 鉴于ARCH 类模型在刻画波动率的长相关性和丛簇特征的成功表现，以及交易时段波动率长相关性等特征，本文采用ARCH 类模型框架进行建模。当前波动率建模遇到的新问题有：可用于预测的信息日益丰富，但这些信息在预测波动率时可能存在相互作用。另一方面，常数参数波动率模型常常备受结构突变的困扰，而市场行情的变化容易引起结构突变，例如，陆蓉和徐龙炳（2004）的研究证实了我国股票市场在牛市和熊市阶段对“利好”和“利空”有不同不平衡性反应特征19。由于周收益率能反映近期市场行情，故采用基于周收益率的变系数模型以缓解常数系数模型的结构突变问题，即部分重要预测变量的系数是周平均收益率的函数，这可以理解为高低频两个信息的相互作用，故采用如下模型。 函数g（）刻画已实现波动率的系数周收益率变化的情况，从而优化模型的预测能力。也有反映这两个量在预测波动率时的交互作用的味道很明显，g（）还具有型，故模型能根据周平均收益率选择较优的GARCH-X模型去估计波动率，从而能部分缓解常系数模型的结构突变问题，故我们把g（）称为“模型选择曲线（ModelSelected Curve）”。如果g（）是个常数函数，交互项“ rt-1RVt-1”的系数为零，那么模型将退化为我们所熟悉的GARCH-X模型，此模型可认为是GARCH-X 模型的一般化。因为不同市场可能对应着不同的“模型选择曲线”g（），故可以通过“模型选择曲线”g（）了解市场的部分异质特征。此外，模型引入交互项以刻画市场的“杠杆效应”。 三、模型估计 关于隔夜波动率模型式（10），只需用极大似然估计方法可得参数的一致估计，这里不再赘述。交易时段波动率模型估计的主要困难来自未指定的未知函数g（）。所以首先需要估计未知函数g（）。注意到式（13）中的变 四、实证分析 本文研究的数据样本是上证综指(SSEC) 从2001-02-28 到2013-03-28 的1分钟高频数据，每个交易日有241个高频数据可用，剔除个别不完整的数据，剩下的共有2926 个交易日的数据。数据来自天相数据库，文中同时也用到了每个交易日的开盘价和收盘价。表1是将要用到数据的主要统计特征。 （一）隔夜收益率波动率模型的参数估计 应用拟极大似然估计的方法和上述数据，得到的估计结果（见表2）。从模型参数的估计结果来看，周末效应的参数的估计值是0.566 而且是显著，这表明周一的隔夜波动率平均要比其他交易日的高出近57%。琢0的估计结果表明，今天的隔夜收益率水平对明天的隔夜波动率有显著的预测效果，这可以解释为在较短的时期内，从收盘到第二天开盘这个时间段所到达的信息量一般变化不会太大，故作为对信息量做出反应的隔夜收益率水平对下一个隔夜收益率的水平有一定的预测性或隔夜波动率具有较强的持续性即长相关性。其他参数的结果表明已实现波动和整天的收益率对第二天的隔夜收益率的波动率预测是不显著的，所以可以得出结论，已实现波动率和整天的收益率对第二天的隔夜波动率的影响是不明显的。 （二）交易时段收益率波动率模型的估计估计半参方程式（17）的方法很多，这里采用的方法是：第一步，应用Cai(2006)等所介绍的方法将内生变量为8%、36%、64%、92% 的分位数，这样选取主要是要照顾到正负两端的情况。然后按照第三部分所介绍的步骤进行估计，就可得到表3、图1和图2。 从表3的参数估计结果表明：1.收益率和已实现波动率的交互作用非常显著，其显著为负数表明在我们考虑的样本区间期内，市场总体上表现出明显“杠杆效应”。2.交易时段的平方收益率的估计不显著意味着其对波动率的预测作用几乎丧失，这说明其包含的预测信息已被其他变量所包括。 从图1“模型选择曲线g（）”的估计发现：一是周平均收益率与“已实现波动率”的交互作用非常明显，而且是非线性的。从其形状可以看出，其在0附近时取较小，并随周平均收益率的涨幅或跌幅的放大而急剧增大，这说明放弃已有模型采用函数系数形式非常必要。究其原因主要是，周平均收益率在0附近的情形很大的可能是发生在市场比较平静的时候，故这个时段的波动率也比较小，持续性相对比较强，而绝对周平均收益率水平比较高，大多发生在大涨或大跌时期，这个时期市场的波动通常波动比较大，故持续性相对比较弱。这些可以认为市场共性的东西。二是“模型选择曲线g（）”有非常明显的不对称，周平均收益率收涨时g（rt-5t-1）的取值明显要比收跌时的大，而且暴跌时非对称更显著。这很可能跟中国的市场在很长的一段时间投资者只能做多不能卖空有关，因为周平均收益率大幅收跌，表明市场近期出现较大的跌幅，悲观情绪比较浓，投资者看空要远大于看多。但是中国的市场之前是不能卖空的，故压抑了交易热情，通常交易量会有明显的萎缩，故市场的波动缺乏动力，因此市场波动性不如其收涨时高。如果周平均收益率出现极大幅度的收跌时，可能有很多投资者已经被套牢了，再也不大愿意大幅减仓了，此时政府也可能会干预，这时市场的波动率通常处在一个相对比较稳定的水平，故持续性也相对走强，而收涨时几乎不受这方面因素的影响。这些可以被认为市场个性的东西，这里想强调的是“模型选择曲线”能部分的刻画市场的异质特征。 从图2可知，取值主要集中在0.350.65之间。此外，还可以画出其散点图以观察其在不同时间段的分布情况。（三）模型预测精度比较为了比较模型预测的正确度，首先必须确定评价标杆(benchmark)，本文采用Torbe G.Andersen（2011a）等的评价标杆这个评价标杆包括了全天的交易信息比较合理。第二是评价指标有均方误差(mean squarederror，MSE)、平均绝对误差(mean absolute error，MAE)、平均绝对误差百分比(mean absolute percentage error，MAPE)、均方误差百分比(mean squared percentage error，MSPE) ，为了保证评价的科学性和稳健性，本文还采用了Pat原ton（2011）提出的稳健评价指标22。 列的评价指标，不同的b 值对应着不同是评价指标，当b0 是MSE。如果把评价指标看成损失函数，那么式（18）定义的评价指标在b0 时就是不对称的损失函数，当b0 时，对于“低估”给比“高估”更大的损失值，当b大于0 时则相反。文中分别取了b=-2、-1、0.6 的三种情况进行比较。各个评价指标越小，说明预测效果越好。第三，比较对象选择当前主流的预测模型，这包括En原gle（2006）的MEM 模型，简记为“EME”，Shephard andSheppard（2010）的HEAVY 模型，简记为“HEAVY”，Torbe G.Andersen（2011a）等把隔离收益率波动率（用GARCH 类模型）和交易时段波动率分开预测的模型（用Har-J 模型），简记为“HarG”。Hansen et al（2012）提出Realied GARCH 模型，其中包括线性的Realied GARCH模型和log 线性的Realied GARCH，分别记“L-R-G”和“logL-R-G”。本文新提出的模型记为“Int-G”(Inter原active GARCH)，分别进行了样本内和样本外预测能力的比较。 （1）样本内预测精度比较 把所以2926 个交易日的数据都作为估计样本得到的拟合值评价标杆进行比较，得到评价结果如表4。从比较结果可以看到，本文所提出的模型的各类预测指标都远小于其他模型。这意味着本文的新模型在样本内的拟合度是优于其他模型。这也是情理之中的，因为其他模型只是一个参数模型，而新模型是每天通过“模型选择曲线g（）”选择一个较优的参数模型进行预测，所以效果较好。 （2）样本外预测精度比较 样本外预测取2006-02-27 到2013-03-28 共1726个交易日作为预测区间。这个期间中国市场经历大牛市和大熊市，这样的预测区是比较能考验模型的预测能力的稳定性。采用样本区间长度固定为1200个交易的移动窗口向前一天预测的方法，即用2006-02-27之前2001-02-28到2006-02-24 共1200个交易日的数据作为样本区间，对2006-02-27 的波动率进行性预测，得到它的预测值。接下来整个样本区间向前平移一个交易日保持1200 个交易日的样本长度不变，对下个交易日2006-02-28的波动率进行预测。以此类推，这样重复1726 次得到预测区间的1726个预测值。把各个模型所得的预测评价标杆应用各个评价指标进行比较（见表5）。从表5 中可以看出，新模型的预测能力虽然没有像样本内那样表现出色，但是从各个评价指标看都是最小的，这表明新模型的样本外预测能力还是优于其他所比较的模型。特别是评价指标MAPE和MSPE是很明显地好于其他模型，这说明新模型在相对预测误差方面是更加明显好于其他模型的。只有在对“高估”给予较大惩罚的评价指标“L（0.6）”下新模型的优势才比较微弱，但是在风险管理实际中“高估”风险的后果远没有“低估”风险的后果严重。 五、结论 本文利用上证综指1分钟的高频数据进行股票市场的波动率预测，根据数据特点采用隔夜波动率和交易时段波动率分开建模估计的方法。在隔夜波动率模型，考察了周末效应对波动率的影响，模型估计得出的结论是，隔夜波动率的周末效应是显著的，即周一的隔夜波动率平均要比其他交易日的隔夜波动率高出近57%。这个发现能为投资者是否周末持仓和风险管理者评估周末隔夜风险提供一点参考。同时，发现已实现波动率对隔夜波动率的影响几乎没有，而日收益率虽然有一定影响但是不显著。 在交易时段波动率模型，考察了已实现波动率与周平均收益率及日收益率的交互作用对波动率预测的影响的基础上，建立了交互GARCH 模型和提出了“模型选择曲线”的概念。从模型的估计结果来看，市场在所讨论的样本区间日收益率和已实现波动率是有显著的交互作用的，而且交互项的估计暗示着市场存在“杠杆效应”。更重要的是，可以从“模型选择曲线”读出许多市场共性和个性的东西。同时模型能部分的缓解ARCH类模型的结构突变的问题。实证分析结果表明新模型在预测能力无论在样本内还是在样本外都明显优于其他模型，这说明在模型中考虑交互作用的影响对提高波动率的预测精度是有很大的帮助的。 （特约编辑：陈国权） 参考文献： 1Engle R F.Autoregressive conditional heteroskedastic-ity with estimates of the variance for U.K.inflationJ.Econo-metrica，1982，50（3）：987-1007. 2Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional 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