2016届【世纪金榜】高三文科数学热点专题突破：(一)导数的综合应用.ppt

热点专题突破系列(一) 导数的综合应用 考点一 利用导导数解决实际实际 生活中的优优化问题问题 【考情分析】以实际实际 生活为为背景,通过过求面(容)积积最大、用料最省、 利润润最大、效率最高等问题问题 考查查学生分析问题问题 、解决问题问题 以及建模 的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质质(单调单调 性、最值值)、不等 式、导导数、解析几何中曲线线方程、空间间几何体等知识识交汇汇考查查. 【典例1】(2015重庆庆模拟拟)某村庄拟拟修建一个无盖的圆圆柱形蓄水池 (不计计厚度).设该设该 蓄水池的底面半径为为r米,高为为h米,体积为积为 v立方米 .假设设建造成本仅仅与表面积积有关,侧侧面的建造成本为为100元/平方米,底 面的建造成本为为160元/平方米,该该蓄水池的总总建造成本为为12000元 (为圆为圆 周率). (1)将v表示成r的函数v(r),并求该该函数的定义义域. (2)讨论讨论 函数v(r)的单调单调 性,并确定r和h为为何值时该值时该 蓄水池的体积积最 大. 【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域 ,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值. 【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh元, 底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2) 元.根据题意得 200rh+160r2=12000,所以h= (300-4r2),从而v(r)=r2h = (300r-4r3). 因r0,又由h0可得r0,故v(r)在(0,5)上为增函数;当r(5, )时 ,v(r) 时，函数g(x)无零点； 当m= 时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0m 时，函数g(x)有两个零点； 当m0时，函数g(x)有且只有一个零点. 综上所述，当m 时，函数g(x)无零点； 当m= 或m0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0m 时，函数g(x)有两个零点. (3)对任意的ba0, 1恒成立， 等价于f(b)-bf(a)-a恒成立. (*) 设h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x0), 所以(*)等价于h(x)在(0,+)上单调递减. 由h(x)= 0在(0,+)恒成立， 得m-x2+x=-(x- )2+ (x0)恒成立， 所以m (对m= ,h(x)=0仅在x= 时成立), 所以m的取值范围是 ,+). 【易错错警示】解答本题题有两点容易出错错. (1)第(2)问问求m及构造函数时时容易忽略定义义域. (2)第(2)问问忽略对对m分类讨论类讨论 或分类标类标 准不准确. 【规规律方法】 1.利用导导数确定三次式、分式、以e为为底的指数式、对对数式及三角式 方程根的个数或函数零点的方法 (1)构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),转转化为为确定g(x) 的零点个数问题问题 求解,利用导导数研究函数的单调单调 性、极值值,并确定定 义义区间间端点值值的符号(或变变化趋势趋势 )等,画出g(x)的图图象草图图,数形结结 合求解. (2)利用零点存在性定理:先用该该定理判断函数在某区间间上有零点,然 后利用导导数研究函数的单调单调 性、极值值(最值值)及区间间端点值值的符号, 进进而判断函数在该该区间间上零点的个数. 2.根据三次式、分式、以e为为底的指数式、对对数式及三角式方程根的 个数或函数零点的个数求参数取值值范围围的方法 构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),利用导导数研究函数的 单调单调 性、极值值,并确定定义义区间间端点值值的情况等,画出g(x)的图图象草 图图,数形结结合得参数的取值值范围围或关于参数的不等式(组组)再求解. 【变变式训练训练 】(2015长长春模拟拟)设设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax, 其中a为实为实 数. (1)若f(x)在(1,+)上是单调单调 减函数,且g(x)在(1,+)上有最小值值, 求a的取值值范围围. (2)若g(x)在(-1,+)上是单调单调 增函数,试试求f(x)的零点个数,并证证明 你的结论结论 . 【解析】(1)f(x)= -a0在(1,+)上恒成立, 则a ,x(1,+),故a1.g(x)=ex-a, 若1ae,则g(x)=ex-a0在(1,+)上恒成立, 此时,g(x)=ex-ax在(1,+)上是单调增函数,无最小值,不合题意; 若ae,则g(x)=ex-ax在(1,ln a)上是单调减函数,在(ln a,+)上是 单调增函数,g(x)min=g(ln a),满足题意. 故a的取值范围为ae. (2)g(x)=ex-a0在(-1,+)上恒成立，则aex, 故a ,f(x)= (x0). 若0a ,令f(x)0，得增区间为(0, ); 令f(x)0，得减区间为( ,+). 当x0时,f(x)-;当x+时，f(x)-; 当x= 时,f( )=-ln a-10，当且仅当a= 时取等号. 故当a= 时，f(x)有1个零点；当0a 时，f(x)有2个零点. 若a=0时，则f(x)=ln x，易得f(x)有1个零点. 若a0，则f(x)= -a0在(0,+)上恒成立， 即f(x)=ln x-ax在(0,+)上是单调增函数， 当x0时，f(x)-;当x+时,f(x)+. 此时，f(x)有1个零点. 综上所述，当a= 或a0时,f(x)有1个零点； 当0a 时,f(x)有2个零点. 【加固训练训练 】(2015杭州模拟拟)设设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a0). (1)若a=1时时,函数f(x)有三个互不相同的零点,求点m的取值值范围围. (2)若函数f(x)在-1,1内没有极值值点,求a的取值值范围围. (3)若对对任意的a3,6,不等式f(x)1在x-2,2上恒成立,求实实 数m的取值值范围围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3+x2-x+m, 因为f(x)有三个互不相同的零点,所以f(x)=x3+x2-x+m=0,即-x3- x2+x=m有三个互不相同的实数根. 令g(x)=-x3-x2+x,则g(x)=-(3x-1)(x+1). 令g(x)0,解得-1 . 所以g(x)在(-,-1)和( ,+)上为减函数, 在(-1, )上为增函数. 所以g(x)极小值=g(-1)=-1,g(x)极大值=g( )= 所以m的取值范围是(-1, ). (2)因为f(x)=x3+ax2-a2x+m(a0), 所以f(x)=3x2+2ax-a2. 因为f(x)在x-1,1内没有极值点,所以方程f(x)=3x2+2ax-a2=0在 区间-1,1上没有实数根, 由=4a2-12(-a2)=16a20,二次函数对称轴x=- 3. 所以a的取值范围是a|a3. (3)令f(x)=3x2+2ax-a2=0,解得x=-a或x= ,且a3,6时, 1,2,-a-6,-3. 又因为x-2,2,所以f(x)在-2, )上小于0,f(x)是减函数; f(x)在( ,2上大于0,f(x)是增函数; 所以f(x) max =maxf(-2),f(2),而f(2)-f(-2)=16-4a20时时,x2ln2时,f(x)0,f(x)单调递增. 所以当x=ln2时,f(x)取得极小值, 且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值. (2)令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x. 由(1)得g(x)=f(x)f(ln2)0, 故g(x)在r上单调递增,又g(0)=10, 因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x21,要使不等式x2kx2成立. 而要使exkx2成立,则只要xln(kx2), 只要x2ln x+ln k成立. 令h(x)=x-2ln x-ln k,则h(x)= 所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增. 取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内单调递增, 又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k, 易知kln k,kln2,5k0,所以h(x0)0. 即存在x0= ,当x(x0,+)时,恒有x20时,exx2, 所以ex= 当xx0时,ex 因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20时,x2x0时,有 x20,即0e时,函数f(x)单调递减, 故函数f(x)的单调增区间为(0,e),单调减区间为(e,+). (2)因为e3; 由 得ln3eln2-1且x0时时,exx2-2ax+1. 【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,xr,f(x)=ex-2,xr. 令f(x)=0,得x=ln2. 于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+) f(x)-0+ f(x)单调递减2(1-ln 2+a)单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-,ln2),单调递增区间是(ln2,+),f(x) 在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)设g(x