高二数学精品课件2321《双曲线的简单几何性质》（人教a版选修21）

2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 问问 题题 引航 1.双曲线线有哪些简单简单 几何性质质?什么是等 轴轴双曲线线? 2.如何理解离心率对对双曲线线开口大小的 影响? 标标准 方程 图图象 焦点_ 焦距_ 1.双曲线线的简单简单 几何性质质 F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c) |F1F2|=2c 标标准 方程 范围围_或_或_ 对对称 性 对对称轴轴:_;对对称中心:_ 顶顶点_ x-axay-aya 坐标轴标轴原点 A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a) 标标准方程 轴轴 实轴实轴 :线线段_,长长:_;虚轴轴:线线段_, 长长:_;半实轴长实轴长 :_,半虚轴长轴长 :_ 离心率 e=_ 渐渐近线线 _ A1A2 2a B1B2 2bab (1,+) 2.等轴轴双曲线线 实轴实轴 和虚轴轴等长长的双曲线线,标标准方程为为_.x2-y2=a2 1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)等轴双曲线的离心率为 ( ) (2)方程 (a0,b0)的渐近线方程为 ( ) (3)离心率e越大，双曲线 的渐近线的斜率绝对值越 大.( ) 【解析】(1)正确.因为a=b，所以 所以 (2)错误.由 得 所以渐近线方程为 (3)正确由 (e1)，所以e越大,渐近线 斜率的绝对值越大. 答案：(1) (2) (3) 2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)双曲线 的渐近线方程为_, 离心率e=_. (2)双曲线x2-16y2=1的半实轴长为_,半虚轴长为_. (3)焦点在x轴上,且焦距为4的等轴双曲线方程为_. 【解析】(1)由 得 故渐近线方程为 由 所以a2=1,b2=3,所以c2=a2+b2=4,故a=1,c=2,所以 答案： (2)由x2-16y2=1,得 所以a2=1,b2= 即a=1,b= 答案：1 (3)因为是焦点在x轴上的等轴双曲线,所以方程设为 则2a2=4,所以a2=2,即双曲线方程为 答案： 【要点探究】 知识点 双曲线的简单几何性质 1.对双曲线渐近线的四点说明 (1)随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近， 但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点 位置. (3)求渐近线的方程，常把双曲线方程右边的常数写成0,分解 因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx+ny=0，求双曲线 方程，常将双曲线方程设为 求解. (4)与双曲线 (a0,b0)共渐近线的双曲线系方程 可设为 (0,a0,b0). 2.离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线 (a0,b0)为例. 故当 的值越大，渐近线 的 斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线 开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大. 【知识拓展】共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原 双曲线的共轭双曲线. 与 互为共轭双曲 线，其性质如下： (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. (3)与 具有相同渐近线的双曲线系方程为 (k0) 【微思考】 (1)双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？ 提示：不能，每条双曲线对应惟一一组渐近线，但当渐近线确 定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴 上. (2)离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系? 提示：不妨设双曲线的方程为 (a0,b0)，一条渐近线l方程: 其倾斜角为,过F2(c,0) 作F2Ml于M，则 所以OM=a,因此 【即时练】 求双曲线9x2-4y2=36的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程. 【解析】将已知的方程先化为标准式，即由9x2-4y2=36得 可知a=2,b=3,利用a,c,b的关系，得到 然后 得到实轴长2a=4、虚轴长2b=6、焦点坐标 离 心率 渐近线方程 【题型示范】 类型一 利用几何性质求双曲线的标准方程 【典例1】 (1)(2013广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 F(3，0)，离心率等于 则C的方程是( ) (2)(2014长春高二检测)已知双曲线过点 它的渐 近线方程为 求双曲线的标准方程; 设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且 |PF1|PF2|=55,求F1PF2的余弦值. 【解题探究】1.题(1)由双曲线的离心率，能得到什么等量关 系? 2.题(2)由渐近线方程求标准方程的一般思路是什么？ 由条件|PF1|PF2|=55可想到什么? 【探究提示】1.已知离心率 的值，可根据 得出a的值， 进而得出b的值. 2.可分焦点在x轴上，y轴上分别设出方程，再由渐近线方程 建立a,b的关系求解,或利用共渐近线的双曲线方程求解. 一般考虑双曲线的定义,|PF1|-|PF2|=2a. 【自主解答】(1)选B.设C的方程为 (a0,b0)，由 题意知 则a=2，b2=c2a2=5，所求方程为 (2)方法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为 (a0,b0), 由题意得 解得a2=9,b2=16. 所以双曲线的方程为 当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为: (a0,b0), 由题意得: 无解. 故双曲线的方程为 方法二：因为双曲线的渐近线方程为 设所求双曲线的方程为: 由于 在该双曲 线上，代入方程解得m=1，所以所求双曲线方程为: 由双曲线定义:|PF1|-|PF2|=6,在F1PF2中，由余弦定理 得: 所以 【方法技巧】巧设双曲线方程的六种常用方法 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0,b0). (3)与双曲线 共焦点的方程可设为 (0,-b20,b0) 的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最 小内角为30，则C的离心率为_. 【解题探究】1.题(1)由渐近线方程如何求离心率? 2.题(2)条件|PF1|+|PF2|=6a的作用是什么? 【探究提示】1.利用渐近线方程可得a,b之间的关系,再由 c2=a2+b2,可得a,c之间的关系,即求得e的值. 2.利用定义得|PF1|-|PF2|=2a,借助于条件|PF1|+|PF2|=6a,可 求得|PF1|,|PF2|的值. 【自主解答】(1)由已知得 所以 故 即 所以 答案： (2)不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a, 得|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，则在PF1F2中，PF1F2= 30，由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)22(4a)(2c)cos 30， 整理得 所以 答案: 【延伸探究】题(2)条件“若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小 内角为30”改为“若PF1PF2，且PF1F2=30”结果如何? 【解析】在直角三角形PF1F2中，由题设可知:|F1F2|=2c,|PF2| =c,|PF1|= 又|PF1|-|PF2|=2a,所以 故 答案： 【方法技巧】求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法:若已知a,c可直接利用 求解,若已知a,b，可利 用 求解. (2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值，但根据条件可确定a, b,c之间的关系，可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的 齐次方程，借助于 转化为关于e的n次方程求解. 【变式训练】（2014四川高考）双曲线 -y2=1的离心率 等于_. 【解析】 答案： 【补偿训练】已知双曲线 (a0,b0)的左、右焦点 分别为F1,F2,P是双曲线上一点，且PF1PF2,|PF1|PF2|= 4ab，则双曲线的离心率是_. 【解析】因为PF1PF2, 所以由 得4c2-4a2=8ab,所以b=2a,c2=5a2,故 答案： 类型三 双曲线的渐近线及应用 【典例3】 (1)(2014双鸭山高二检测)若双曲线 的一条渐近 线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.6 (2)(2014长春高二检测)若双曲线 的渐近线l方程 为 则双曲线焦点F到渐近线l的距离为( ) 【解题探究】1.题(1)由双曲线的标准方程如何得出渐近线方 程? 2.题(2)中点到直线的距离公式是什么？ 【探究提示】1.可令标准方程中的1为0，然后因式分解即可得 出渐近线方程. 2.点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离 【自主解答】(1)选B.由双曲线 得渐近线方程为 不妨取渐近线 即 圆(x-2)2+y2 =4的圆心为(2,0),半径r=2. 所以有: 解得a=1. 故实轴长为2. (2)选D.由双曲线 得渐近线方程为 所以 即m=5, 所以双曲线方程为 因此c2=9+5=14, 不妨取焦点 渐近线方程l: 即 所以F到l的距离 【方法技巧】求双曲线渐近线方程的两种方法 【变式训练】(2014邢台高二检测)以双曲线 的右 焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16=0 C.x2+y2+10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0 【解析】选A.由双曲线 得双曲线的一条渐近线为 即4x-3y=0, a2=9,b2=16,所以c2=a2+b2=25,c=5, 右焦点为(5,0)，右焦点到渐近线的距离为: 所以圆的方程为(x-5)2+y2=42,即x2+y2-10x+9=0. 【补偿训练】已知双曲线C: 的焦距为10,点P(2,1) 在C的渐近线上，则C的方程为( ) 【解析】选A.设双曲线C: 的半焦距为c, 则2c=10,c=5. 又因为C的渐近线为 点P(2,1)在C的渐近线上, 所以 即a=2b, 又c2=a2+b2,所以 所以C的方程为 故选A. 【易错误区】忽视双曲线焦点位置致误 【典例】已知双曲线 的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率e为_. 【解析】当双曲线的焦点在x轴上时， 因为渐近线方程为 所以 所以离心率 当双曲线的焦点在y轴上时， 因为渐近线方程为 所以 这时 所以离心率 故双曲线的离心率为 或 答案： 或 【常见误区】 错解错因剖析 解答时,若认为焦点在x轴上,即忽视阴影处焦点 在y轴上的情况,导致答案不全的错误 【防范措施】 1.条件要考虑全面 对题目条件的分析要透彻、全面,一般情况下若只给出渐近线 方程、焦距、离心率等条件,要注意焦点位置的讨论,如本例中 分焦点在x轴上或y轴上两种情况讨论. 2.基础