27173概率论与数理统计课后答案第7章答案.pdf

习题习题 7.1 1. 设总体 X 服从指数分布 f(x;) = e x, x 0, 0; 0, x 0 试求(1) 的矩估计 1; (2) 的极大似然估计2. 解解: (1) E(X) = xf(x)dx + = x x1dx 1 0 = xdx 1 0 = + 1 E(X) = x = + 1 的矩估计 1= x 1 x (2) 似然函数为 L() = xi 1 n i=1 = n(x1,x2,xn)1 lnL() = nln + ( 1)lnx1+ lnx2,lnxn = nln + ( 1)lnxi n i=1 令 d lnL() d = n + xi n i=1 = 0 解得 2= n xi n i=1 3. 设总体 X 服从参数为( 0)的泊松分布,试求 的矩估计 1和极大似然估计 2.(可参考例 7-8) 解解: 由 X 服从参数为 的泊松分布 E(X) = 由矩法,应有x = 1= x 似然函数为 L() = i xi n i=1 e= xi x1!x2!xn! en lnL() = (xi)ln n ln (x1!x2!xn!) d lnL() d = x i n = 0 解得 的极大似然估计为 2= 1 n xi n i=1 = X 习题习题 7.2 1. 证明样本均值x是总体均值 的相合估计. 证: E(x) = ,D(x) = 2 n 0(n ) 由定理 7 1 知x是 的相合估计. 2. 证明样本的 k 阶矩Ak= 1 n xi kn i=1 是总体 k 阶矩 E(xk)的相合估计量. 证: E(Ak) = E(1 n xi k n i=1 ) = E(xk), D(Ak) = D(1 n xi k n i=1 ) = 1 n2 D(xi k) n i=1 0(n 0) Ak= 1 n xi k n i=1 是 E(xk)的相合估计. 3. 设总体XN(,1), 0 是未知参数,又x1,x2,xn为取自该总体的样品 ,x为样品均值. (1) 证明 = 2 3 x是参数 的无偏估计和相合估计; (2) 求 的极大似然估计. (1) 证: E( ) = E(2 3 x) = 2 3 E(x) = 2 3 3 2 = = 2 3 x是参数 的无偏估计 又 D( ) = D(2 3 x) = 4 9 D(x) = 4 9 2 12 n = 2 27n 0(n ) = 2 3 x是参数 的相合估计. (2) Xu(,2)故其分布密度为 f(x) = 1 , 0 x 2 ( 0) 0, 其他 似然函数 L() = 1 n , 0 xi 2 (i = 1,2,n) 0, 其他 因对所有xi有 0 xi 2 (i = 1,2,n) 0 maxx1,x2,xn 2 习题习题 7.3 1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强 度XN(,0.22).现从中抽取容量为 6 的样本测得样本观测值并算的x = 8.54, 求 的置信度 0.9 的置信区间. 解解: = 1 0.9 = 0.1,u0.05= 1.64 置信度为 0.9 的置信区间是 x u 2 n ,x + u 2 n = 8.54 1.64 0.2 6 ,8.54 + 1.64 0.2 6 8.41,8.67 2. 设轮胎的寿命 X 服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取 12 只 轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命 的 0.95 的置信区间.(例 7-21, 未知时 的置信区间) 解解: x = 4.7092,S2= 0.0615. = 1 0.95 = 0.05,查 t 分布表知t0.025(11) = 2.2010 平均寿命 的 0.95 的置信区间为: x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 4.7092 2.2010 0.0615 12 ,4.7092 + 2.2010 0.0615 12 = 4.5516 ,4.8668 3. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径 X,Y 分别服从 N(1,1 2),N(2,22 ), 其中i 2,i未知(i = 1,2).现由甲,乙两车床的产品中分别抽出 25 个和 15 个,测 得s1 2 = 6.38,s2 2 = 5.15. 求两总体方差比1 2/22的置信度 0.90 的置信区间. 解解:此处n1= 25, n2= 15, s1 2 = 6.38, s2 2 = 5.15, = 1 0.90 = 0.1, 2 = 0.05 1 2/22的置信度 0.90 的置信区间为: s1 2 s2 2 1 F 2 (n 1 1,n2 1) , s1 2 s2 2 1 F1 2 (n 1 1,n2 1) = 6.38 5.15 1 F0.05(24,14) , 6.38 5.15 1 F0.95(24,14) = 1.24 1 2.35 ,1.24 4. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:毫米)如 下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1) 已知滚珠直径的标准差 = 0.15毫米; (2) 未知标准差. 求直径均值 的置信度 0.95 的置信区间. 解解: (1) x = 14.91, = 1 0.95 = 0.05,u0.025= 1.96 直径均值 的置信度 0.95 的置信区间为: x u 2 n ,x + u 2 n = 14.91 1.96 0.15 9 ,14.91 + 1.96 0.15 9 14.812,15.008 (2)x = 14.91,S2= 0.041, = 1 0.95 = 0.05,t0.025(8) = 2.306 置信度 0.95 的置信区间为: x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 14.91 2.306 0.041 9 ,14.91 + 2.306 0.041 9 = 14.754 ,15.066 5. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 X 服从正态分布N(,2),其中 ,2未知. 令随机地抽取 16 个灯泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时): 1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480 1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540 求该批灯泡平均寿命 的置信度 0.95 的置信区间. 解解: x = 1509.5,S2= 1038.5, = 1 0.95 = 0.05,t0.025(15) = 2.1315 置信度 0.95 的置信区间为: x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 1509.5 2.1315 1038.5 16 ,1509.5 + 2.1315 1038.5 16 = 1492.328 ,1526.672 6. 求上题灯泡寿命方差的置信度 0.95 的置信区间. 解解: S2= 1038.5, = 1 0.95 = 0.05,查表知0.025 2 (15) = 27.488,0.975 2 (15) = 6.262 置信度 0.95 的置信区间为: (n 1)s 2 2 2(n 1), (n 1)s2 1 2 2 (n 1) = 15 1038.5 27.488 , 15 1038.5 6.262 = 566.702,2487.624 7. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机 抽取 11 个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤): 42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7 求(1)平均抗弯强度 的置信度 0.95 的置信区间. (2)抗弯强度标准差的置信度 0.90 的置信区间. 解解: (1) x = 43.4,S2= 0.5207, = 1 0.95 = 0.05,查表知t0.025(10) = 2.2281 置信度 0.95 的置信区间为: 注意这里是求的置信 区间,结果要开方. x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 43.4 2.2281 0.5207 11 ,43.4 + 2.2281 0.5207 11 = 42.915,43.885 (2) S2= 0.5207, = 1 0.90 = 0.1,查表知0.05 2 (10) = 18.307,0.95 2 (10) = 3.940 2置信度 0.90 的置信区间为: (n 1)s 2 2 2(n 1), (n 1)s2 1 2 2 (n 1) = 10 0.5207 18.307 , 10 0.5207 3.940 = 0.284,1.322 故的置信度 0.90 的置信区间为0.53,1.15 8. 设两个正态总体N(1,2),N(2,2)中分别取容量为10和12的样本,两样本互 相独立.经算得x = 20, y = 24,又两样本的样本标准差s1= 5,s2= 6.求1 2的置信度 0.95 的置信区间. 解解: Sw = (n 1 1)s1 2 + (n2 1)s2 2 n1+ n2 2 =9 25 + 11 36 10 + 12 2 = 5.572 = 1 0.95 = 0.05,查表知t0.025(20) = 2.086 故1 2的置信度 0.95 的置信区间为: x y t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw,x y + t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw = 20 24 2.086 1 10 + 1 12 5.572,20 24 + 2.086 1 10 + 1 12 5.572 = 8.975,0.975 9. 为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地.10块不施 磷肥,另外 10 块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下: 不施磷肥的 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 施磷肥的 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均 亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计( = 0.05). 解解: x = 570,y = 600,Sx 2 = 6400 9 ,Sy 2 = 2400 9 = 0.05,查表知t0.025(18) = 2.1009 Sw = (n 1 1)s1 2 + (n2 1)s2 2 n1+ n2 2 =4400 9 = 22.11 x y t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw,x y + t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw = 600 570 2.1009 1 10 + 1 10 22.11,600 570 + 2.1009 1 10 + 1 10 22.11 = 9.23,50.77 10. 有两位化验员A,B独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行10次和 11次测定,测定的方差分别为s1 2 = 0.5419,s2 2 = 0.6065.设A,B两位化验员测定 值服从正态分布,其总体方差分别为1 2,22.求方差比12/22的置信度 0.9的置信 区间. 解解: = 1 0.9 = 0.1,查表知F0.05(9,10) = 3.02,F0.95(9,10) = 1 F0.05(10,9) = 1 3.14 = 0.318 故1 2/22的置信度 0.9 的置信区间为: s1 2 s2 2 F 2 (n 1 1,n2 1) , s1 2 s2 2 F1 2 (n 1 1,n2 1) = 0.5419 0.6065 3.02 , 0.5419 0.6065 0.318 = 0.295,2.81 自测题自测题 7 一、填空题 设总体XN(,2 )x 1,x2,x3是来自 X 的样本,则当常数 a = 1 2 时, = 1 3 x1+ ax2+ 1 6 x3是未知参数的无偏估计. 解解: = 1 3 x1+ ax2+ 1 6 x3是未知参数的无偏估计 则E( ) = 1 3 E(x1) + aE(x2 ) + 1 6 E(x3 ) = 1 3 + a + 1 6 a = 1 2 二、一台自动车床加工零件长度 X(单位:厘米)服从正态分布N(,2).从该车床加 工的零件中随机抽取 4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2. 试求: (1)样本方差S2;(2)总体方差2的置信度为 95%的置信区间. (附:u0.025= 1.96,u0.05= 1.645,0.025 2 (3) = 9.348,0.975 2 (3) = 0.216,0.025 2 (4) = 11.143, 0.975 2 (4) = 0.484) 解解: (1) x = 12.6 + 13.4 + 12.8 + 13.2 4 = 13 S2= 1 n 1 (xi x) 2 n i=1 = 0.4 3 (2)2置信度 0.90 的置信区间为: (n 1)s 2 2 2(n 1), (n 1)s2 1 2 2 (n 1) = 3 0.4 3 9.348 , 3 0.4 3 0.216 = 0.04,1.85 三、设总体XN(,2),抽取样本x1,x2xn,x = 1 n xi n i=1 为样本均值. (1) 已知 = 4,x = 12,n = 144,求 的置信度为 0.95 的置信区间; (2) 已知 = 10,问:要使 的置信度为 0.