高等数学同济六版考研必做习题.pdf

前言前言 随着寒假的来临，2016 届研究生考试初试落下了帷幕，纵观历年考生 复习心得，众多考生一致认为寒假是考生打牢基础、提升能力、突破自我 的绝佳机会！ 当他人还在留恋被窝温暖的时候，当他人还在呼朋唤友把酒言欢的时 候，你已经静静的开始“寒假提升计划”，每天进步一点点，寒假进步一 大步，于是当寒假结束的时候，你悄然的发现，当他人还在对考研数学一 头雾水、满眼迷离的时候，你却已经为高等数学的“大厦”打下了坚实的 “地基”，于是年后顺理成章就迎来在高数成绩上的突飞猛进！ 在复习考研的征程中，好的开始，是成功的一半。“我要考研”不能 只是一句空话，不能让我们的“梦想”只停留在“梦”和“想”，既然我 们已选择考研，就要用行动去证明我们的“梦想不只是说说而已”。因此 我们要有一个好的开头，而好的开始，必须建立在对各科考试要求全面了 解的基础上，结合各学科特点，加以科学有效的复习方法和有的放矢的针 对性练习，才能达到事半功倍的效果。 同济六版高等数学是研究生考试指定参考书，其课后习题的重要 性不言而喻，是考生夯实基础、全面掌握知识的首选，深受各届考研学子 的重视，学府考研学科教研组根据研究生考试要求，结合学府考研多年的 教学实践，筛选出同济六版高等数学课后习题中的考研必做题，希望 大家本着认真、踏实、端正的学习态度，“每天一练”，高效、独立的完 成寒假作业。同学们，让我们一起把寒假过的更充实、更有意义吧！ 西安学府考研培训中心 2015.12.25 目录目录 第一章函数、极限与连续.1 第一节 映射与函数.1 第二节 数列的极限.3 第三节 函数的极限.4 第四节 无穷大与无穷小.5 第五节 极限运算法则.5 第六节 极限存在准则两个重要极限.7 第七节 无穷小的比较.8 第八节 函数的连续性与间断点.9 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性.11 第十节 闭区间上连续函数的性质.13 总习题一.14 第二章导数与微分.17 第一节 导数概念.17 第二节 函数的求导法则.19 第三节 高阶导数.24 第四节 隐函数及由参赛方程确定的函数的求导.25 第五节 函数的微分.29 总习题二.31 第三章微分中值定理与导数的应用.34 第一节 微分中值定理.34 第二节 洛必达法则.36 第三节 泰勒公式.38 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性.39 第五节 函数的极值与最大值最小值.42 总习题三.44 第四章不定积分.47 第一节 原函数的概念.47 第二节 换元积分法.50 第三节 分部积分法.54 第四节 有理函数的积分.56 总习题四.58 第五章定积分.62 第一节定积分的概念与性质.62 第二节 微积分基本公式.64 第三节 定积分的换元法和分部积分法.68 第四节 反常积分 72 总习题五.74 第六章定积分的应用.77 第二节 定积分在几何学上的应用.77 总习题六.82 第七章常微分方程.83 第一节 常微分的基本概念.83 第二节 可分离变量的微分方程.85 第三节 齐次方程.87 第四节 一阶线性微分方程.88 第五节 可降阶的高阶微分方程.90 第六节 高阶线性微分方程.92 第七节 常系数齐次线性微分方程.94 第八节 常系数非齐次线性微分方程.96 第九节 欧拉方程.98 总习题七.99 第九章多元函数微分法及其应用.101 第一节 多元函数的基本概念.101 第二节 偏导数.103 第三节 全微分.105 第四节 多元复合函数的求导法则.106 第五节 隐函数的求导公式.108 第八节 多元函数的极值及其求法.111 总习题九.113 第十章重积分.116 第一节 二重积分的概念与性质.116 第二节 二重积分的计算法.118 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！1 第一章函数、极限与连续 第一节 映射与函数 第一章函数、极限与连续 第一节 映射与函数(同济六版上册 21 页) 4. 求下列函数的自然定义域： （1）32yx；（2） 2 1 1 y x ；（3） 2 1 1 x x y； （4） 2 1 4 y x ；（5）sinyx；（6）tan(1)yx； （7）arcsin(3)yx；（8） 1 3arctanyx x ； （9）ln(1)yx；（10） 1 x ye 5 下列各题中， 函数( )f x和( )g x是否相同？为什么？ （1） 2 ( )lgf xx，( )2lgg xx； （2）( )f xx， 2 ( )g xx； （3） 343 ( )f xxx， 3 ( )1g xx x； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！2 （4）( )1f x ， 22 ( )sectang xxx 8 设( )f x为定义在(, )l l内的奇函数，若( )f x在(0, ) l内单调增加，证明( )f x 在(,0)l内也单调增加 9 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(, )l l上的，证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； （2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数 的乘积是奇函数 15 设( )f x的定义域0,1D ，求下列各函数的定义域： （1） 2 ()f x；（2）(sin )fx； （3）()f xa(0)a ； （4）()()f xaf xa(0)a . 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！3 16 设 11 ( )01 11 x f xx x ，( ) x g xe，求 ( )f g x和 ( )g f x，并作出这 两个函数的图形 第二节 数列的极限第二节 数列的极限(同济六版上册 30 页) 1 下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对于收敛数列，通过 n x的变化 趋势，写出它们的极限： （1） 1 2 n n x ；（2） 1 ( 1)n n x n ；（3） 2 1 2 n x n （4） 1 1 n n x n ；（5）( 1)n n xn；（6） 21 3 n n n x （7） 1 n xn n ；（8） 1 ( 1)1 n n n x n . 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！4 第三节 函数的极限第三节 函数的极限(同济六版上册 37 页) 1. 对图 1-28 所示的函数( )f x，求下列极限，如极限不存在，说明理由. （1） 2 lim( ) x f x ；（2） 1 lim( ) x f x ；（3） 0 lim( ) x f x . 2. 对图 1-29 所示的函数( )f x，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） 0 lim( ) x f x 不存在；（2） 0 lim( )0 x f x ；（3） 0 lim( )1 x f x ； （4） 1 lim( )0 x f x ；（5） 1 lim( ) x f x 不存在； （6）对每个 0 ( 1,1)x ， 0 lim( ) xx f x 存在. 3. 对图 1-30 所示的函数( )f x，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） 1 lim( )1 x f x ； （2）)(lim 1 xf x 不存在；（3） 0 lim( )0 x f x ； （4） 0 lim( )1 x f x ；（5） 1 lim( )1 x f x ；（6） 1 lim( )0 x f x ； （7） 2 lim( )0 x f x ； （8） 2 lim( )0 x f x . 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！5 4. 求( ) x f x x ， x x x | )( 当0x 时的左右极限，并说明它们在0x 时 的极限是否存在 第四节 无穷大与无穷小第四节 无穷大与无穷小(同济六版上册 42 页) 4 求下列极限并说明理由： （1） x x x 12 lim ；（2） x x x 1 1 lim 2 0 6 函数cosyxx在(+ )，内是否有界？这个函数是否为当+x 时的 无穷大？为什么？ 7 证明：函数 xx y 1 sin 1 在区间(01，上无界，但这函数不是当0x 时的无穷 大 第五节 极限运算法则第五节 极限运算法则(同济六版上册 49 页) 1 计算下列极限： （1） 2 2 5 lim 3 x x x ；（2） 2 2 3 3 lim 1 x x x ；（3） 2 2 1 21 lim 1 x xx x ； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！6 （4） xx xxx x 23 24 lim 2 23 0 ；（5） h xhx h 22 0 )( lim ；（6）) 11 2(lim 2 xx x ； （7） 12 1 lim 2 2 xx x x ；（8） 13 lim 24 2 xx xx x ； （9） 45 86 lim 2 2 4 xx xx x ；（11）) 1 2)( 1 1 (lim 2 xx x ； （11）) 2 1 4 1 2 1 1 (lim n n ；（12） 2 ) 1( 321 lim n n n ； （13） 3 (1)(2)(3) lim 5 n nnn n ；（14）) 1 3 1 1 (lim 3 1 xx x . 2 计算下列极限： （1） 2 23 2 ) 2( 2 lim x xx x ；（2） 2 lim 21 x x x ；（3）) 12(lim 3 xx x 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！7 3 计算下列极限： （1） x x x 1 sinlim 2 0 ；（2） x x x arctan lim 第六节 极限存在准则两个重要极限第六节 极限存在准则两个重要极限(同济六版上册 56 页) 1 计算下列极限： （1） x x x sin lim 0 ；（2） x x x 3tan lim 0 ；（3） x x x5sin 2sin lim 0 ； （4）xx x cotlim 0 ；（5） xx x xsin 2cos1 lim 0 ； （6） n n n x 2 sin2lim （x为不等于零的常数） 2 计算下列极限： （1） x x x 1 0 )1 (lim ；(2) x x x 1 0 )21 (lim ； （3） x xx x 2 ) 1 (lim ；（4） kx xx) 1 1 (lim （k为正整数） 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！8 4 利用极限存在准则证明： （1）1 1 1lim nn ； （2）1) 1 2 11 (lim 222 nnnn n n ； （3）数列2，22，222，的极限存在； （4）11lim 0 n x x；（5）1 1 lim 0 x x x 第七节 无穷小的比较第七节 无穷小的比较(同济六版上册 59 页) 1.当0x 时， 2 2xx与 23 xx相比，哪一个是高阶无穷小？ 2 当1x 时，无穷小1 x和（1） 3 1x，（2）)1 ( 2 1 2 x是否同阶？是否等 价？ 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！9 3 证明：当0x 时，有：（1）arctanxx；（2） 2 1sec 2 x x 4 利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1） x x x2 3tan lim 0 ；（2） m n x x x )(sin )sin( lim 0 （n，m为正整数）； （3） x xx x 3 0 sin sintan lim ；（4） ) 1sin1)(11( tansin lim 3 20 xx xx x 第八节 函数的连续性与间断点第八节 函数的连续性与间断点(同济六版上册 64 页) 2 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形： （1） 2 0 1 ( ) 2 12 xx f x xx ；（2） 1| 1 11 )( x xx xf 3 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续： 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！10 （1） 2 2 1 32 x y xx ，1x ，2x ； （2） x x y tan ，xk， 2 kx（0k ，1，2，）； （3） x y 1 cos2，0x ； （4） 1 3 1 1 xx xx y，1x 4 讨论函数x x x xf n n n 2 2 1 1 lim)( 的连续性，若有间断点，判别其类型 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！11 5 下列陈述中，那些事对的，那些事错的？如果是对的，说明理由；如果是错的， 试举出一个反例. （1）如果函数( )f x在a连续，那么( )f x也在a连续； （2）如果函数( )f x在a连续，那么( )f x也在a连续. 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性(同济六版上册 69 页) 3 求下列极限 （1）52lim 2 0 xx x ；（2） 3 4 )2(sinlimx x ； （3）)2cos2ln(lim 6 x x ；（4） x x x 11 lim 0 ； （5） 1 45 lim 1 x xx x ；（6） ax ax ax sinsin lim； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！12 （7）)(lim 22 xxxx x 4 求下列极限： （1） x x e 1 lim ；（2） x x x sin lnlim 0 ； （3） 2 ) 1 1 (lim x xx ；（4） x x x 2 cot2 0 )tan31 (lim ； （5） 2 1 ) 6 3 (lim x xx x ；（6） xxx xx x 20 sin1 sin1tan1 lim 5. 设 xf在R上连续，且 0f x ， x在R上有定义，且有间断点，则下 列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对得，说明理由；如果是错的，试给出一 个反例. （1） fx 必有间断点；（2） 2 x 必有间断点； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！13 （3） fx 未必有间断点；（4） ( ) ( ) x f x 必有间断点. 6 设函数 0 ( ) 0 x ex f x axx 应当如何选择数a，使得 f x成为在 (,) 内的连续函数？ 第十节 闭区间上连续函数的性质第十节 闭区间上连续函数的性质(同济六版上册 74 页) 1. 假设函数( )f x是闭区间0,1上连续，并且对0,1任一点x有0( )1f x. 试证明0,1中必存在一点c，使得( )f cc（c称为( )f x的不动点） 2 证明方程 5 31xx至少有一个根介于 1 和 2 之间 5 若( )f x在ba,上连续， 12n axxxb，则在 1 ( ,) n x x上至少有一 点，使 12 ( )()() ( ) n f xf xf x f n 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！14 总习题一总习题一(见课本 74 页) 1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内： （1）数列 n x有界是数列 n x收敛的_条件 数列 n x收敛是数列 n x 有界的_的条件 （2）( )f x在 0 x的某一去心邻域内有界是 0 lim( ) xx f x 存在的_条件 0 lim( ) xx f x 存在是( )f x在 0 x的某一去心邻域内有界的_条件 （3）( )f x在 0 x的某一去心邻域内无界是 0 lim( ) xx f x 的_条件 0 lim( ) xx f x 是( )f x在 0 x的某一去心邻域内无界的_条件 （4）( )f x当 0 xx时的右极限 0 ()f x及左极限 0 ()f x都存在且相等是 0 lim( ) xx f x 存在的_条件 2. 已知函数 2 (cos )0 ( ) 0 x xx f x ax ， ， ，在0x 连续，则a _ 3 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论： （1）设( )232 xx f x ，则当0x 时，有() （A）( )f x与x是等价无穷小；（B）( )f x与x同阶但非等价无穷小； （C）( )f x是比x高阶的无穷小；（D）( )f x是比x低阶的无穷小. （2）设 1 1 1 ( ) 1 x x e f x e ，则0x 是( )f x的（） （A）可去间断点； （B）跳跃间断点； （C）第二类间断点； （D）连续点. 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！15 4. 设( )f x的定义域是0,1求下列函数的定义域： （1）() x f e；（2）(ln )fx；（3）(arctan )fx；（4）(cos )fx 5 设 0,0 ( ) ,0 x f x x x ， 2 0 ,0 ( ) ,0 x g x xx ，求( )ff x，( )g g x， ( )f g x， ( )g f x 9 求下列极限： （1） 2 2 1 1 lim (1) x xx x ；（2） 2 lim(1) x xxx ； （3） 1 23 lim() 21 x x x x ；（4） 3 0 tansin lim x xx x ； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！16 （5） 1 0 lim() 3 xxx x x abc （0a ，0b ，0c ）； （6） tan 2 lim(sin ) x x x . 10 设 2 1 sin 0 ( ) 0 xx f xx axx ，要使( )f x在(,) 内连续，应怎样选择数 a? 11 设 01 )1ln( 0 )( 1 1 xx xe xf x ，求( )f x的间断点，并说明间断点所属类型 12 证明 222 111 lim 1 12 n nnnn 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！17 第二章导数与微分 第一节 导数概念 第二章导数与微分 第一节 导数概念(同济六版上册 86 页) 6 下列各题中均假定 0 ()fx存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什 么： （1）A x xfxxf x )()( lim 00 0 ； （2）A x xf x )( lim 0 ，其中(0)0f，且(0) f 存在； （3）A h hxfhxf h )()( lim 00 0 7 设 3 2 2 1 ( )3 1 xx f x xx ， ， ，则( )f x在1x 处的（）. （A）左、右导数都存在.（B）左导数存在，右导数不存在. （C）左导数不存在，右导数存在. （D）左、右导数都不存在. 8 设( )f x可导，( )( )(1sin)F xf xx，则(0)0f是( )F x在0x 可导的 （）. （A）充分必要条件.（B）充分条件但非必要条件. （C）必要条件但非充分条件.（D）既非充分条件又非必要条件. 9 求下列函数的导数： 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！18 （1） 4 yx；（2） 3 2 xy；（3） 1.6 yx；（4） 1 y x ； （5） 2 1 y x ；（6） 53 xxy；（7） 322 5 xx y x . 11 如果( )f x为偶函数，且(0) f 存在，证明(0)0 f 14 求曲线 x ye在点(0,1)处的切线方程 15 在抛物线 2 yx上取横坐标为 1 1x 及 2 3x 的两点，作过这两点的割线， 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 16 讨论下列函数在0x 处的连续性与可导性： （1）sinyx；（2） 0 0 0 1 sin 2 x x x x y 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！19 17 设函数 1 1 )( 2 xbax xx xf为了使函数( )f x在1x 处连续且可导，a，b 应取什么值？ 18 已知 0 0 )( 2 xx xx xf求(0)f及(0)f，又(0) f 是否存在？ 19 已知 sin 0 ( ) 0 x x f x xx ，求( )fx 20 证明：双曲线 2 xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等 于 2 2a 第二节 函数的求导法则第二节 函数的求导法则(同济六版上册 97 页) 2 求下列函数的导数： （1）12 27 4 3 xx xy；（2） 3 523 xx yxe； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！20 （3）2tansec1yxx；（4）sincosyxx； （5） 2 lnyxx；（6）3cos x yex； （7） x x y ln ；（8）3ln 2 x e y x ； （9） 2 ln cosyxxx；（10） t t s cos1 sin1 ； 3 求下列函数在给定点处的导数： （1）sincosyxx，求 6 x y和 4 x y； （2）cos 2 1 sin，求 4 d d ； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！21 （3） 55 3 )( 2 x x xf ，求(0) f 和(2) f 5 求曲线 2 2sinyxx上横坐标为0x 的点处的切线方程和法线方程 7 求下列函数的导数： （1）arcsin(12 )yx；（2） 2 1 1 x y ；（3）xey x 3cos 2 ； （4） x y 1 arccos；（5） x x y ln1 ln1 ；（6） x x y 2sin ； （7）xy arcsin；（8）)ln( 22 xaxy； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！22 （9）ln sectanyxx；（10）ln csccotyxx 8 求下列函数的导数： （1） 2 ) 2 (arcsin x y；（2） 2 tanln x y；（3）xy 2 ln1； （4） x ey arctan ；（5）sincos n yxnx； （6） 1 1 arctan x x y； （7） x x y arccos arcsin ；（8）ln ln lnyx ； （9） xx xx y 11 11 ；（10） x x y 1 1 arcsin 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！23 10 设( )f x可导，求下列函数y的导数 dx dy ： （1） 2 ()yf x；（2） 22 (sin)(cos)yfxfx 11 求下列函数的导数： （1） 2 (23) x yexx ；（2） 22 sinsin()yxx； （3） 2 ) 2 (arctan x y；（4） n x x y ln ；（5） tt tt ee ee y ； （6） x y 1 cosln；（7） x ey 1 sin2 ；（8）xxy； （9） 2 4 2 arcsinx x xy；（10） 2 1 2 arcsin t t y 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！24 14. 设函数( )f x满足下列条件：（1）()( )( )f xyf xf y，对一切x， yR.（2）( )1( )f xxg x ，而 0 lim ( )1 x g x .试证明( )f x在R上处处可导，且 ( )( )fxf x. 第三节 高阶导数第三节 高阶导数(同济六版上册 103 页) 2 设 6 ( )(10)f xx，(2)? f 3 若( )fx存在 求下列函数y的二阶导数 2 2 d y dx ： （1） 2 ()yf x；（2）ln( )yf x 10. 求下列函数指定阶的导数： （1）cos x yex，求 (4) y；（2） 2 sin2yxx，求 (50) y. 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！25 11 求下列函数的n阶导数的一般表达式： （1） 12 121 nnn nn yxa xa xaxa （ 1 a， 2 a， n a都是常数）； （2） 2 sinyx；（3）lnyxx；（4） x yxe. 12. 求函数 2 ln(1)yxx在0x 处的n阶导数 ( )n y（3n）. 第四节 隐函数及由参赛方程确定的函数的求导第四节 隐函数及由参赛方程确定的函数的求导(同济六版上册 111 页) 1 求由下列方程所确定的隐函数的导数 dx dy ： （1） 2 290yxy；（2） 33 30xyaxy； （3） xy xye ；（4）1 y yxe 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！26 2 求曲线 222 333 xya在点 22 (, ) 44 aa处的切线方程和法线方程 3 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 2 2 d y dx ： （1） 22 1xy；（2） 222222 b xa ya b； （3）tan()yxy；（4）1 y yxe . 4 用对数求导法求下列函数的导数 （1）() 1 x x y x ；（2）5 52 5 2 x y x ； （3） 4 5 2(3) (1) xx y x ；（4）sin1 x yxxe 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！27 5 求下列参数方程所确定的函数的导数 dy dx ： （1） 2 3 xat ybt ；（2） (1 sin ) cos x y 6 已知 sin , cos . t t xet yet 求当 3 t 时 dy dx 的值 7 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: （1） sin cos2 xt yt ，在 4 t 处；（2） 2 2 2 3 1 3 1 at x t at y t ；在2t 处 8 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 2 d y dx ： 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！28 （3） 2 2 1. t x yt ；（2） cos sin xat ybt ；（3） 3 2 t t xe ye ； （4） ( ) ( )( ) xf t ytf tf t ，设( )ft 存在且不为零 9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 3 3 d y dx ： （1） 2 3 1xt ytt ；（2） 2 ln(1) arctan xt ytt 10 落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6/m s，问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？ 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！29 11 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为min/4 3 m 当水深 为5m时，其表面上升的速度为多少？ 12 溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形 筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的 速率为1/mincm 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ 第五节 函数的微分第五节 函数的微分(同济六版上册 123 页) 2 设函数( )yf x的图形如图所示，试在图（a）、（b）、（c）、（d）中分 别标出在点 0 x的dy、y及ydy 并说明其正负 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！30 3 求下列函数的微分： （1） 1 2yx x ；（2）sin2yxx；（3） 2 1 x y x ； （4） 2 ln (1)yx；（5） 22x yx e；（6）cos(3) x yex ； （7） 2 arcsin 1yx； （8） 22 tan (12)yx；（9） 2 2 1 arctan 1 x y x ； （10）sin()sAx（A，是常数） 4 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）()2ddx；（2）()3dxdx；（3）()cosdtdt； （4）()sindxdx；（5） 1 () 1 ddx x ；（6） 2 () x dedx ； （7） 1 ()ddx x ；（8） 2 ()sec 3dxdx 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！31 总习题二总习题二(见课本 125 页) 1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内： （1）( )f x在点 0 x可导是( )f x在点 0 x连续的_条件( )f x在点 0 x 连续是( )f x在点 0 x可导的_条件 （2）( )f x在点 0 x的左导数 0 ()fx 及右导数 0 ()fx 都存在且相等是( )f x在点 0 x可导的_条件 （3）( )f x在点 0 x可导是( )f x在点 0 x可微的_条件 2 设( )(1)(2)()f xx xxxn（2n），则(0) f _. 3 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设( )f x在xa的某个邻域 内有定义 则( )f x在xa处可导的一个充分条件是（）. （A） 1 lim ()( ) h h f af a h 存在；（B） 0 (2 )() lim h f ahf ah h 存在； （C） 0 ()() lim 2 h f ahf ah h 存在；（D） 0 ( )() lim h f af ah h 存在 5 根据导数的定义，求 1 ( )f x x 的导数 6 求下列函数( )f x的(0)f及(0)f，又(0)f是否存在? （1） 0 )1ln( 0 sin )( xx xx xf；（2） 0 0 0 1 )( 1 x x e x xf x 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！32 7. 讨论函数 1 sin 0 ( ) 0 0 xx f xx x 在0x 处的连续性与可导性 8 求下列函数的导数： （1）arcsin(sin )yx；（2） 1 arctan 1 x y x ； （3）lntancoslntan 2 x yxx； （4） 2 ln(1) xx yee；（5） x yx(x0) 9 求下列函数的二阶导数： （1） 2 coslnyxx；（2） 2 1 x y x 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！33 10 求下列函数的n阶导数： （1）1 m yx；（2） 1 1 x y x 11 设函数( )yy x由方程 y exye所确定，求(0) y 12 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 dy dx 及二阶导数 2 2 d y dx ： （1） 3 3 cos sin xa ya ；（2） 2 ln 1 arctan xt yt 13 求曲线 2 t t xe ye 在0t 相应的点处的切线方程及法线方程 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！34 14. 设( )f x为周期为5的连续函数，它在 0x 的某个邻域内满足： (1 sin )3 (1 sin )8( )fxfxxo x其中( )o x是当0x 时比x高阶的无穷小 量，且( )f x在 1x 处可导，求曲线( )yf x在点(6,(6)f处的切线方程. 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理(同济六版上册 134 页) 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理(同济六版上册 134 页) 5 不用求出函数( )(1)(2)(3)(4)f xxxxx的导数，说明方程( )0f x有几个 实根，并指出它们所在的区间 6 证明恒等式：arcsinarccos 2 xx （11x ） 7 若方程 11 011 0 nn n a xa xax 有一个正根 0 x，证明方程 12 011 (1)0 nn n a nxa nxa ，必有一个小于 0 x的正根 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！35 8 若函数( )f x在( , )a b内具有二阶导数，且 123 ( )( )( )f xf xf x，其中 123 axxxb, 证明：在 13 ( ,)x x内至少有一点，使得( )0f 9 设0ab，1n ，证明： 11 ()() nnnn nba babnaa b 10 设0ab，证明： b ba b a a ba ln 11 证明下列不等式： （1）arctanarctanabab；（2）当1x 时， x ee x 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！36 12 证明方程 5 10xx 只有一个正根 第二节 洛必达法则第二节 洛必达法则(同济六版上册138页) 1 用洛必达法则求下列极限： （1） 0 ln(1) lim x x x ；（2） 0 lim sin xx x ee x ；（3） ax ax ax sinsin lim； （4） x x x5tan 3sin lim ；（5） 2 2 )2( sinln lim x x x ；（6） nn mm x ax ax 0 lim； （7） x x x2tanln 7tanln lim0 ；（8） x x x 3tan tan lim 2 ；（9） xarc x xcot ) 1 1ln( lim ； （10） 2 0 ln(1) lim seccos x x xx ； （11）xx x 2cotlim 0 ；（12） 2 1 2 0 lim x x ex ； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！37 （13）) 1 1 1 2 (lim 2 1 x x x ；（14） x xx a) 1 (lim ； （15） x x xsin 0 lim ；（16） x x x tan 0 ) 1 (lim 2 验证极限 sin lim x xx x 存在，但不能用洛必达法则得出 3 验证极限 x x x xsin 1 sin lim 2 0 存在，但不能用洛必达法则得出 4 讨论函数 1 1 1 2 (1) 0 ( ) 0 x x x x ef x ex 在点0x 处的连续性 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！38 第三节 泰勒公式第三节 泰勒公式(同济六版上册 145 页) 1 按(4)x的幂展开多项式 432 534xxxx 2 应用麦克劳林公式，按x幂展开函数 23 ( )(31)f xxx 3 求函数xxf)(按(4)x的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式 4 求函数( )lnf xx按(2)x的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式 5 求函数 x xf 1 )(按(1)x的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式 6 求函数( )tanf xx的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！39 7 求函数( ) x f xxe的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式 10 利用泰勒公式求下列极限： （1）)23(lim 4 34 3 23 xxxx x ； （2） )1ln( cos lim 2 2 0 2 xxx ex x x ；（3） 2 22 0 sin)(cos 1 2 1 1 lim 2 xex xx x x 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性(同济六版上册 152 页) 1 判定函数( )arctanf xxx单调性 2 判定函数( )cosf xxx（02x）的单调性 4. 设函数( )f x在定义域内可导，( )yf x的图形如图 3-11 所示，则导函数图 形为 3-12 中所示的四个图形中的哪一个？ 图 3-11 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！40 5 证明下列不等式： （1）当0x 时，xx1 2 1 1； （2）当0x 时， 22 1)1ln(1xxxx； （3）当 2 0 x时，sintan2xxx； （4）当 2 0 x时， 3 3 1 tanxxx； 图 3-12 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！41 （5）当4x 时， 2 2xx； 8 判定下列曲线的凹凸性： （1） 2 4yxx；（2）yshx； （3） x xy 1 （0x ）；（4） arctanyxx . 9 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间： （1） 32 535yxxx；（2） x yxe； （3） 4 (1) x yxe；（4） 2 ln(1)yx； （5） arctanx ye；（6） 4(12ln 7)yxx. 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！42 12 问a、b为何值时，点(1,3)为曲线 32 yaxbx的拐点？ 13 试决定曲线 32 yaxbxcxd中的a、b、c、d，使得2x 处曲线 有水平切线，(1, 10) 为拐点，且点( 2,44) 在曲线上 14 试决定 22 (3)yk x中k的值,使曲线的拐点处的法线通过原点 15 设( )yf x在 0 xx的某邻域内具有三阶连续导数 如果 0 ()0fx， 0 ()0fx ，试问 00 (,()xf x是否为拐点？为什么？ 第五节 函数的极值与最大值最小值第五节 函数的极值与最大值最小值(同济六版上册 162 页) 1 求下列函数的极值： （1） 32 26187yxxx；（2）ln(1)yxx； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！43 （3） 42 2yxx ；（4）xxy1；(5) 2 54 31 x x y ； （6） 1 443 2 2 xx xx y；（7）cos x yex；（8） x xy 1 ； （9） 3 1 ) 1(23xy；（10）tanyxx 4 求下列函数的最大值、最小值： （1） 32 23yxx，14x ； （2） 42 82yxx ，13x ； 寒假提升第天 学府考研，十年专注，你值得拥有！44 （3）1yxx，51x . 5 问函数 32 26187(14)yxxxx在何处取得最大值？并求出它的最 大值 6 问函数 2 54 yx x （0x ）在何处取得最小值？ 7 问函