控制工程基础第三章教学课件

控制系统的时域分析控制系统的时域分析 学习要点 时域分析有关概念时域分析有关概念 稳定性分析稳定性分析 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 系统的系统的稳态误差稳态误差的计算的计算 时域分析有关概念-时域分析特点 (1) 具有直观和准确的优点； (2)可以从响应表达式或曲线上得到系统时间响应 的全部信息； (3) 采用解析方法，过程较为繁琐； (4)难于判断系统的结构和参数对动态性能的影响 ，进行系统设计时一般不用时域分析法； (5)对高阶系统进行分析时计算量很大，不易确定 性能指标，必须借助于计算机实现。 时域分析有关概念-常用的方法 稳定性分析-代数判据（劳斯判据） 准确性分析-稳态误差的计算 时域响应分析-直接由微分方程求解得出 或由传递函数经拉氏变换求 时域分析有关概念-常用的方法 时域分析过程: 规定一些特殊的试 验输入信号xi(t) 根据系统对这些试验 信号的响应xo(t)得出 系统的性能 任意 系统 时域分析方法: 时域分析有关概念-常用的方法 求传递函数为G(s)的控制系统在 任意输入信号xi(t)作用下的输出 响应的xo(t)步骤： (1)求输入的象函数Xi(s)； (2)求输出的象函数Xo(s)= G(s) Xi(s)； (3)对Xo(s)进行反拉氏变换得输出的时 域表达式xo(t) 时域分析有关概念-主要概念 1.开环传递函数和闭环传递函数 闭环传递闭环传递 函数为为： 开环传递函数为：G(s)H(s) 特别地：单位反馈系统H(s)=1，开环传 递函数等于前向通道的传递函数G(s)。 时域分析有关概念-主要概念 2.特征方程和特征根 控制系统闭环传递统闭环传递 函数一般可写成： nm 特征方程：D(s)=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0 特征根：特征方程的根，即D(s)=0的解。 时域分析有关概念-主要概念 3.系统的零点、极点和零极点分布图 闭环零点：闭环传递函数中M(s)=0的解 闭环极点：闭环传递函数中D(s)=0的解，等价特征根 开环零极点与开环传递函数相对应 例：已知系统的传递函数为 零点为-2 极点为 零极点分布图 作零极点分布图 1.求零点 2.求极点： 系统的零极点分布与系统的性能有关 3.在复平面上， 零点用“”表示， 极点用“”表示 S Re Im 1-1-2 -1 -2 2 1 时域分析有关概念-主要概念 4.开环增益和开环根轨迹增益 开环传递函数G(s)H(s)可以写成如下标准形式： -K为开环增益 开环传递函数若写成如下标准形式： -K*为开环根轨迹增益 二者可以相互转换 时域分析有关概念-典型输入信号 典型输入信号典型输入信号是众多而复杂的实际输入的近似和抽象， 是系统常遇到的输入信号形式，数学表达式十分简单 (1)分析系统性能指标时，采用典型信号可使数学计算简 单，便于比较系统的性能； (2)复杂信号输入时的系统性能是以典型输入时的性能为 基础的； (3)有些复杂信号可以由典型信号叠加而成； (4)给系统输入典型信号，分析系统的输出响应，可以确 定未知系统的数学模型。 控制系统分析中采用典型输入信号的原因 时域分析有关概念-典型输入信号 1.阶跃(位置)信号 a为常数，a =1时为单位 阶跃信号，记为1(t)。 a为常数，a =1时为单位 斜坡信号，记为t1(t)。 2.斜坡(速度)信号 时域分析有关概念-典型输入信号 3.抛物线(加速度)信号 a为常数，a =1/2时为单 位加速度信号。 a为强度，a =1时为单位 脉冲信号，记为(t) 。 4.脉冲(冲击)信号 时域分析有关概念-典型输入信号 选取典型信号的原则 选择的输入信号能反映系统在工作中的实际选择的输入信号能反映系统在工作中的实际 形式上应尽可能的简单形式上应尽可能的简单 斜坡信号斜坡信号 随时间逐渐变化的输入随时间逐渐变化的输入(机床的运动、雷达的转动等） 阶跃信号阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入突然的扰动量、突变的输入(合断电) 脉冲信号脉冲信号 冲击输入冲击输入(导弹发射的冲击力) 正弦信号正弦信号 随时间往复变化的输入随时间往复变化的输入（机床的振动） 瞬态性能指标瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。是以阶跃信号为典型输入信号定义的。 不论采用哪种输入信号，分析出来的系统特性是一致的。不论采用哪种输入信号，分析出来的系统特性是一致的。 时域分析有关概念-时域响应 控制系统为 微分方程的全解：微分方程的全解：x x o o ( (t t)=)= x xoh oh( (t t)+ )+ x xov ov ( (t t) ) xoh(t)-齐次方程的通解通解，只与微分方程(即系统的结构参数或 系统的特征根)有关。对于稳定的系统，当时间趋于无穷大时 ，通解趋于零。 xov(t)-特解特解，与微分方程和输入有关，时间趋于无穷大时特 解应趋于一个稳态的函数，全解将趋于一个稳态的函数，使 系统达到一个新的平衡状态，工程上称为进入稳态。 时域分析有关概念-时域响应 控制系统的时间响应由瞬态响应和稳态响应组成 瞬态响应瞬态响应也称过渡过程过渡过程或动态过程动态过程(AB段) ，指从输入信号作用到系统的时刻开始， 到系统达到稳态状态前的响应过程 稳态响应稳态响应也称静态静态或稳态过程稳态过程(CD 段)，指在输入信号作用下时间趋 于无穷大时的输出响应，稳态过程 表征输出量复现输入量的程度 时域分析有关概念-时域性能指标 动态性能指标(以二阶系统单位阶跃响应为例) 上升时间上升时间t t r r ：响应曲线从0首次达 到稳态值xo()所用的时间 峰值时间峰值时间t t p p ：响应曲线从0达到 第一个峰值所用的时间 最大超调量最大超调量MM p p ： 调整时间调整时间t t s s ：指输出响应曲线进 入并一直保持在距稳态值允许的 误差范围所需的最小时间。 为5%或2% 时域分析有关概念-时域性能指标 稳态性能指标 用稳态误差稳态误差表示 是系统的控制精度的一种度量，通常在阶跃信号、 斜坡信号和加速度信号作用下进行测定或计算。 在稳态(时间趋于无穷大)时，如果系统的输出量不 等于输入量或输入量的函数，则说明系统存在误差。 思考题 1.当系统的时域响应进入稳态后，可以分析系统的（ ）性能。 A.稳定性 B.快速性 C.平稳性 D.准确性 2.下列说法中正确的是（ ）。 A.开环传递函数是开环系统的传递函数 B.系统的特征根与极点等价 C.开环增益与开环根轨迹增益之间的比例关系不确定 D.系统的特征根与系统的开环传递函数相对应 稳定性分析-稳定的概念 稳定性是控制系统能完成控制任务的首要前提 系统在干扰作用的情况下，偏离了原来的平衡状态，当扰动系统在干扰作用的情况下，偏离了原来的平衡状态，当扰动 消失后，经过一定的时间，系统又能恢复到原来的平衡状态消失后，经过一定的时间，系统又能恢复到原来的平衡状态 ，则系统是稳定的；如果系统在扰动消失后不能恢复到原来，则系统是稳定的；如果系统在扰动消失后不能恢复到原来 的平衡状态或离平衡状态越来越远，则系统是不稳定的的平衡状态或离平衡状态越来越远，则系统是不稳定的 稳定的定义一： 稳定不稳定临界稳定 稳定性分析-稳定的概念 系统在干扰作用下，偏离了正常工作点，如果过渡过程 随时间的推移逐渐衰减并最终趋于零，则系统能够回到 原来的工作点，称该系统稳定；否则，系统不稳定。 稳定的定义二： 控制理论讨论控制理论讨论自由振荡自由振荡下的稳定性 输入为零，系统仅存在 初始偏差不为零 稳定性分析-稳定的充分必要条件 干扰作用下的系统的输出： 有 为使应有-pi1，过阻尼过阻尼 两个不相等的负实根 二阶系统的时域分析-极点分布 二阶振荡环节的特征方程 阻尼比不同，极点分布不同 (2)=1，临界阻尼临界阻尼 两个相等的负实根 二阶系统的时域分析-极点分布 二阶振荡环节的特征方程 阻尼比不同，极点分布不同 (3)01，欠阻尼欠阻尼 -振荡角频率 具有负实部的一对共轭复根 二阶系统的时域分析-极点分布 二阶振荡环节的特征方程 阻尼比不同，极点分布不同 (4) =0，零阻尼零阻尼 s1,2=jn 一对共轭纯虚根 二阶系统的时域分析-极点分布 二阶振荡环节的特征方程 阻尼比不同，极点分布不同 (5) 0，负阻尼负阻尼 具有正实部的一对共轭复根 两个不相等的正实根 思考题 1.对一阶系统的描述错误的是（ ）。 A.一阶系统总是稳定的 B.一阶系统在单位斜坡输入时不稳定 C.一阶系统的快速性仅与时间常数有关 D.时间常数越小一阶系统的快速性越好 2.求系统在任意输入信号下的输出响应时用的数学模型是（ ）。 A.系统的传递函数 B.系统的开环传递函数 C.系统微分方程 D.系统的频率特性函数 3.二阶系统在过阻尼时的极点分布是（ ）。 A.一对共轭复根 B.一对共轭的纯虚根 C.两个相等的负实根 D.两个不相等的负实根 二阶系统的时域分析-单位阶跃响应 阻尼比不同，极点分布不同，单位阶跃响应也不同 (1) (1) 欠阻尼欠阻尼 整理得 或 二阶系统的时域分析-单位阶跃响应 (1) (1) 欠阻尼欠阻尼 衰减振荡衰减振荡 衰减振荡 二阶系统的时域分析-单位阶跃响应 (2) (2) 过阻尼过阻尼 单调上升收敛单调上升收敛 二阶系统的时域分析-单位阶跃响应 (3) (3) 临界阻尼临界阻尼 单调上升收敛单调上升收敛 二阶系统的时域分析-单位阶跃响应 (4) (4) 零阻尼零阻尼 等幅振荡等幅振荡 二阶系统的时域分析-单位阶跃响应 (3) (3) 负阻尼负阻尼 单调发散单调发散发散振荡发散振荡 二阶系统的时域分析-单位脉冲响应 二阶系统的时域分析-单位斜坡响应 稳态误差为： 思考题 1.二阶系统在欠阻尼时的单位响应曲线的形状是（ ）。 A.衰减振荡 B.单调上升收敛 C.单调发散 D.等幅振荡 2.对二阶系统的描述正确的是（ ）。 A.总是稳定的 B.能无差的跟踪斜坡输入信号 C.能无差的跟踪阶跃输入信号 D.在零阻尼时不稳定 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 由 (1) (1) 上升时间上升时间t t r r 有 即 得 为阻尼角， =arcos 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 由 (2) (2) 峰值时间峰值时间t t p p 有 即 得 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 (3) (3) 最大超调量最大超调量MM p p 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 (4) (4) 调整时间调整时间t t s s 单位阶跃响应曲线的包络线 当误差范围为5%时 当较小时 误差2%时 标准二阶系统瞬态响应指标 两大类题型: 一、根据性能指标确定系统的传递函数(结构参数) 二、根据系统的传递函数(结构参数)求性能指标 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 例例某单位反馈随动系统方块图如图所示，若开环放大倍数K=16 ，时间常数T=0.25s，试求： (1)系统的动态性能指标tp、tr、ts和Mp。 (2)为使最大超调量Mp=16%，当K=2时，T应为多少？ 解：系统的闭环传递函数为 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 例例某单位反馈随动系统方块图如图所示，若开环放大倍数K=16 ，时间常数T=0.25s，试求： (1)系统的动态性能指标tp、tr、ts和Mp。 (2)为使最大超调量Mp=16%，当K=2时，T应为多少？ (2)为使Mp=16%，得 =0.5 当K=2时，T=0.5s 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 例例某质量-弹簧-阻尼系统的方块图所示，当给系统施加了f i(t)=8.9N的阶跃 力后，记录系统的输出位移xo(t)随时间变化的曲线如图。试求M、k和D 。 解： 得： tp=2s， xo()=0.03m 得0.6 n=1.96rad/s K=1/k， 2n=D/M ，n2=k/M 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 例例某质量-弹簧-阻尼系统的方块图所示，当给系统施加了f i(t)=8.9N的阶跃 力后，记录系统的输出位移xo(t)随时间变化的曲线如图。试求M、k和D 。 解： 0.6 n=1.96rad/s K=1/k， 2n=D/M ，n2=k/M 得k=8.9/0.03=297N/m 二阶系统的时域分析-时域性能指标的计算 例例 机器人位置控制系统如图，为使峰值时间tp=0.5s，超调量 Mp=2%，确定K1和K2的大小 解： 比较 对二阶系统单位阶跃响应的影响 0 s 衰减振荡 高阶系统的时域分析-高阶系统的单位阶跃响应 1. 1.闭环极点对系统单位阶跃响应的影响闭环极点对系统单位阶跃响应的影响 系统闭环极点系统闭环极点- - p p i i 或共轭极点的实部或共轭极点的实部- - j j 越小，说明闭环极点越小，说明闭环极点 离虚轴越远，则动态分量中此指数项衰减越快，此极点对瞬离虚轴越远，则动态分量中此指数项衰减越快，此极点对瞬 态过程的影响越小。若系统的闭环极点全部远离虚轴，则系态过程的影响越小。若系统的闭环极点全部远离虚轴，则系 统的瞬态过程结束的很快，调整时间很短。统的瞬态过程结束的很快，调整时间很短。 高阶系统的时域分析-高阶系统的单位阶跃响应 2. 2.闭环零点对系统单位阶跃响应的影响闭环零点对系统单位阶跃响应的影响 若闭环极点若闭环极点p p i i 与各闭环零点的距离很远与各闭环零点的距离很远( (p p i i - -z z j j 较大较大) )，则，则 i i 较大，较大， 此指数项对于动态过程的影响不能忽略；若闭环极点此指数项对于动态过程的影响不能忽略；若闭环极点p p i i 与各闭与各闭 环零点的距离很近环零点的距离很近( (p p i i - -z z j j 较小较小) )，则，则 i i 较小，此指数项对于动态过较小，此指数项对于动态过 程的影响可能忽略。程的影响可能忽略。 高阶系统的时域分析-主导极点和偶极子 1. 1.主导极点主导极点 把距离虚轴最近，附近没有闭环零点的闭环极 点称为主导极点主导极点，其对瞬态响应起主导作用。 工程上认为工程上认为，闭环极点A距虚轴的距离大于闭环极点B距虚轴距 离的5倍以上时，把B看作主导极点，分析系统时可忽略极点A。 例某高阶阶系统统的传递传递 函数为为 试试分析其动态动态 性能指标标Mp和ts 。 解：闭环极点为p1,2=-12j，p3=-6 。 p1,2为主导极点，忽略p3 =0.447 高阶系统的时域分析-主导极点和偶极子 2. 2.偶极子偶极子 工程上认为工程上认为某极点与零点之间的距离小于他们本身到原点距离 的1/10时，则极点和零点构成了偶极子，在传递函数中可以把偶 极子对应项消去，从而可以降低系统的阶次，称为偶极子相消 例某高阶阶系统统的传递传递 函数 为为 闭环极点p1,2=-12j，p3=-20 ； 零点z=-20.1。z和p3构成偶极子 思考题 1.二阶系统的时域性能指标不包括（ ）。 A.上升时间 B.稳态误差 C.最大超调量 D.发散性 2.反映系统响应的平稳性的性能指标是（ ）。 A.上升时间 B.峰值时间 C.最大超调量 D.调整时间 3.与主导极点有关的叙述中错误的是（ ） A.能忽略系统中的非主导极点 B.系统中只能有一个主导极点 C.主导极点距离虚轴的距离最近 D.忽略非主导极点时要保证系统的增益不变 稳态误差的计算 静差静差 在实际的控制系统中因放大器的零漂、元器件的老 化及死区等因素而存在的误差 原理性误差原理性误差 因控制系统自身的结构参数、输入信号作 用的位置及输入信号的类型等的不同，稳 态时的输出产生的误差 稳态误差的计算-概念 1. 1.偏差偏差 2. 2.误差误差 期望输出量xor(t)和实际输出量xo(t)的差值 而 Xor(s)=Y(s)/H(s) =Xi(s)/H(s) 故 3. 3.稳态误差稳态误差 一是定义为时间趋于无穷大时的误差，称为“终值误差”或 “静态误差”用ess表示。 另一种是误差信号e(t)中的稳态分量，称为“动态误差”。 稳态误差的计算-概念 4. 4.偏差和误差的关系偏差和误差的关系 有有 单位反馈系统偏差等于误差单位反馈系统偏差等于误差 稳态误差的计算-输入引起的误差 1. 1.终值定理法终值定理法 (1)(1)求输入信号的象函数求输入信号的象函数X X i i ( (s s) ) (2)(2)求偏差传递函数求偏差传递函数 (3)(3)求偏差象函数求偏差象函数 (4)(4)求误差象函数求误差象函数 (5)(5)由终值定理求稳态误差由终值定理求稳态误差 稳态误差的计算-输入引起的误差 例例 已知已知 。求输入信号。求输入信号 为单位阶跃信号，为单位阶跃信号，HH( (s s)=1)=1及及 HH( (s s)=0.1)=0.1时系统的稳态误差。时系统的稳态误差。 解解 ： H(s)=1时 稳态误差的计算-输入引起的误差 例例 已知已知 。求输入信号。求输入信号 为单位阶跃信号，为单位阶跃信号，HH( (s s)=1)=1及及 HH( (s s)=0.1)=0.1时系统的稳态误差。时系统的稳态误差。 解解 ： H(s)=0.1时 稳态误差的计算-输入引起的误差 2. 2.静态误差系数法静态误差系数法 设反馈控制系统的开环传递函数设反馈控制系统的开环传递函数 0 0型系统型系统：没有积分环节，：没有积分环节， =0=0时时 型系统型系统：积分环节有：积分环节有1 1个，个， =1=1时时 型系统型系统：积分环节有：积分环节有2 2个，个， =2=2时时 稳态误差的计算-输入引起的误差 2. 2.静态误差系数法静态误差系数法 (1)(1)静态位置误差系数静态位置误差系数 输入信号为单位阶跃信号 定义静态位置误差系数 0型系统Kp=K 型系统Kp= 型系统Kp= 稳态误差的计算-输入引起的误差 2. 2.静态误差系数法静态误差系数法 (2)(2)静态速度误差系数静态速度误差系数 输入信号为单位斜坡信号 定义静态速度误差系数 0型系统Kv=0 型系统Kv=K 型系统Kv= 稳态误差的计算-输入引起的误差 2. 2.静态误差系数法静态误差系数法 (3)(3)静态加速度误差系数静态加速度误差系数 输入信号为单位加速度信号 定义静态加速度误差系数 0型系统Ka=0 型系统Ka=0 型系统Kv=K 稳态误差的计算-输入引起的误差 2. 2.静态误差系数法静态误差系数法 若输入信号为非典型输入信号时，因控制系统的输入信号的变若输入信号为非典型输入信号时，因控制系统的输入信号的变 化一般比较缓慢，可把输入信号在化一般比较缓慢，可把输入信号在t t=0=0附近展开成泰勒级数，则附近展开成泰勒级数，则 输入信号则可以分解成一些典型信号叠加的形式，系统的稳态输入信号则可以分解成一些典型信号叠加的形式，系统的稳态 误差为各典型输入信号单独作用时的稳态误差的叠加。误差为各典型输入信号单独作用时的稳态误差的叠加。 稳态误差的计算-输入引起的误差 例例为一单位反馈控制系统的开环传递函数，为一单位反馈控制系统的开环传递函数， 求输入信号分别为单位阶跃、单位斜坡和单位加速度时系统的稳态误差求输入信号分别为单位阶跃、单位斜坡和单位加速度时系统的稳态误差 。 故故单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差 单位斜坡输入时的稳态误差单位斜坡输入时的稳态误差 单位加速度输入时的稳态误差单位加速度输入时的稳态误差 稳态误差的计算-干扰引起的误差(终值定理法) 分别求出输入单独作用于系 统时的稳态误差essX和干扰 单独作用下的稳态误差essN ，则有ess=essX+essN 稳态误差的计算 例例某恒温箱控制系统，计算xi(t)=1(t)， n(t)=0.11(t)时系统的稳态误差。 解：解：(1)(1) e essX ssX的计算 的计算 系统的开环传递函数系统的开环传递函数 (2)(2) e essN ssN的计算 的计算 (3)(3) e ess ss的计算 的计算 e e s