实际问题中导数的意义

1、导数的定义 2、导数的几何意义 函数 在 处的导数，是曲线 在点 处的切线的斜率 瞬时变化率 孙疃中学：魏冬冬 第0秒到第1秒这段时间内 第1秒到第2秒这段时间内 4.9米 14.7米 观察小男孩蹦极时 的平均速度变化 引例： 作蹦极时，小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后的时 间t (单位：s)存在函数关系 （1）如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描 述其运动状态，那么 在0t1这段时间内-v1 在1t2这段时间内- v2 （2）如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其 运动状态，那么 在t=1时的瞬时速度v1= 在t=2时的瞬时速度v2= 探究1 导数在物理学中的应用 例1：如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W(单位：J)是时间t (单位：s) 的函数，设这个函数可以表示为 (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并 解释它的实际意义. (2)求 并解释它们的实际意义. 解： （1）当t从1 s变到3 s时，功W从 W(1)=11J变 到W(3)=21J ，此时功W关于时间t的平均变化率为 它表示从t=1 s到t=3 s这段时间，这个人平均每秒做功5J. （2）首先求 .根据导数公式和求导法则可得 分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人 每秒做的功为7J和4J. 于是， 变式训练： 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t的关系式是 （1）求此物体的初速度 （2）求此物体在t=0到t=2时的平均速度 （3）求此物体在t=2时的瞬时速度 例2 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量 的数据： 时间t/min0102030405060 降雨量y/mm0101417202224 显然，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0变到10，从50 变到60时，降雨量y关 于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们 的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为 f(t)= ，求 并解释它的实际意义. 探究2 导数在日常生活中的应用 解:（1）当t从0变到10时，降雨量y从0变到10，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为 它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量 为1 mm.当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此 时，降雨量y关于时间t的平均变化率为 它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分降雨 量为0.2 mm. 10.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min 比后10 min的雨下的大.用气象学的知识解释，0 10 min这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而50 60 min这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min. （2）首先求导函数，根据导数公式表可得 将t=40代入f(t)可得 它表示的是t=40 min时降雨量y关于时间t的瞬时变化 率，即降雨强度. f(40)=0.25就是说t=40 min这个时刻的降雨强度为 0.25mm/min. 例3.建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x 的函数： （1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ （2）求 并解释它的实际意义。 探究3 导数在经济生活中的应用 解:（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面 积x的平均变化率为 它表示建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中， 每增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加 1 050元. （2）首先求 ，利用导数公式表和导数的运 算法则可知 表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的 速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2 时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元 。 【变式练习】 某种产品的总成本C(万元)与产量q (万件)之间的函 数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为q=10(万件)时，从降低成本角 度看，继续提高产量是否合适？ 解析:当q=10时的总成本为 所以单位产品的成本(单位成本)为 因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总 成本增加4元，远低于当前的单位成本.因此从降低 成本角度看，应继续 提高产量. 实际问题中实际问题中 导数的意义导数的意义 自变量原函数导数的意义 时间路程速度 时间速度加速度 时间功功率 长度质量线密度 产量生产成本边际成本 时间降雨量降雨强度 1如果物体做直线运动的方程为s(t)2(1t)2，则 其在t4 s时的瞬时速度为( ) A12 B12 C4 D4 2从时间t0开始的t s内，通过某导体的电量(单位： C)可由公式q2t23t表示，则第5 s时的电流强度为( ) A27 C/s B20 C/s C25 C/s D23 C/s D A 随堂练习： 利用导数解决生活中的优化