高中数学 第2章 推理与证明 2_1_1 合情推理知识导航 苏教版选修2-21

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_.任何推理都包含_和_两部分，_是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；_是根据_推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_,简称为_，其思维过程大致为_、_、_.3.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_，简称为_，其思维过程大致为_、_、_.4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_，_、_是_常用的思维方法.知识导学 学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律，找出共性，产生联想，归纳出有关的结论.或类比原来研究过的内容来研究与之相似的，更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题，如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识，学会探索，勇于探索，注意知识的前后、纵横联系.疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.可从正反两个方面举例理解.2.类比推理剖析：类比推理在日常生活中常用，可以由一种事物的特征、启发得到尚未熟悉或尚未被发现的事物的研究，是从特殊到特殊的推理.类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现新问题、探索新知识的功能.如研究球时常与圆类比；研究立体方面的问题常与平面问题类比；研究双曲线、抛物线常与椭圆相类比，这种思维方式，可以使旧知识得到发展，将新旧知识联系起来，使科学不断发展.典题精讲【例1】 设f(n)=n2+n+41，nN*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)的值.同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,10的结果进行归维推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.由此猜想，n为任何正整数时f(n)=n2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=4141,f(40)为合数，猜想的结论不正确.绿色通道：归纳推理是从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段,通过归纳得到猜想结论.一般来说，归纳推理发现真理的过程为：从具体问题实验观察经验归纳(归纳推理)形成一般命题结论的猜想证明.变式训练:,写出1、2、3、4的值,归纳并猜想出结果.解：取n=1,2,3,4分别得，观察4个结果都是分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1，猜想：原式=.推算：由,原式=.【例2】两个同心圆中，任作大圆的弦XY交小圆于P、Q，大圆半径为R，小圆半径为r，求证：PXPY为定值.思路分析：本题PXPY为定值，定值是多少？我们可先由特殊到一般，我们可先取特殊位置，如XY为大圆的直径等.解：当XY为大圆的直径时，PXPY=(R+r)(R=r)=R2-r2.当XY为小圆的切线时，P、Q重合，PXPY=OX2-OP2=R2-r2.猜想：过点P作一直径MN，由相交弦定理，得PXPY=PMPN=(R+r)(R-r)=R2-r2(为定值).绿色通道：类比是对知识进行理线串连的好方法，在平时学习中，常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆和运用，思维过程一般为：从具体问题类比推理联想形成一般命题结论的猜想证明预见.变式训练:类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即a+x=b,则x=b-a.(4)在实数加法中，任意实数与0相加不改变大小，在向量加法中任意向量a+0=a.【例3】从大、小正方形的数量关系上，观察图2-1-1所示的几何图形，试归纳得出的结论.图2-1-1思路分析：从个别事例归纳总结，得到一般性的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1=12，1+3=22=22，1+3+5=33=32，1+3+5+7=44=42，1+3+5+7+9=55=52，1+3+5+7+9+11=66=62，猜想：1+3+5+7+(2n-1)=n2.绿色通道：本题为图形语言，要善于观察图形的前后联系和变化，找出规律.变式训练:把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图2-1-2所示.则第七个三角形点数是( )A.27 B.28 C.29 D.30图2-1-2答案：B问题探究问题1：意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的算经一书中，记述了有趣的兔子问题，假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？若一直推算下去，可得到一个数列an.若a1=a2=1，你能归纳出当n3时an的递推关系吗？导思：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳，归纳离不开观察、分析，我们应从数值特征、从式子结构、从已知与未知的必然联系等方面观察、分析、探究.应注意所探究的事物或现象的本质属性和因果关系，才能发现规律.探究：我们将各个月的大兔子对数依次排列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，通过观察我们会发现每个数为前两个数之和.an=an-1+an-2(n3,nN*).问题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.导思：类比推理，就是根据两个不同的对象的某些方面相同或相似推测他们在其他方面也可能相同或相似的思维方式.它是思维过程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想，结论中S2=S12+S22+S32为真命题.探究：类比时应先找共性，抓特点,前提类比、结论类比.考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可类比选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象