高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法例题与探究 北师大版选修

高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.不完全归纳法与数学归纳方法的异同以及在“归纳猜想证明”中的组合应用我们在研究问题时,还常常用到一般归纳法,即从特殊到一般的思维方法,举例如下:1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,我们由此发现并得出如下结论：1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1=n2(nN), 这就是考察具有1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论.这种思维方法(或推理方法)我们称之为不完全归纳法. 因此由不完全归纳法得到的结论未必正确,接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性.确认的方法是什么呢？或许结论不正确,那么可寻找一反例推翻该结论;或许结论正确,那么我们需对此予以严格的证明.如何证明？ 注意到123(n-1)n(n-1)321n2(nN),实际上是n1,2,3,的无穷多个等式的概括写法,因此要证明上述等式,就需要对n1,2,3,的无穷多个等式逐一证明.事实上,这是做不到的. 而数学归纳法不需要全部验证.他只需,从首项开始即验证n=1时等式成立.然后再假设n=k时成立,证明n=k+1时成立,从而使得所有的项都适合了.显然数学归纳法是归纳法的一种,并且是一种完全归纳法.它得出的结论是正确的.它的优点是可以解决无限项的问题,但是不足是只能解决与自然数n相关的问题. 这样,不完全归纳法与完全归纳法组合起来就可以解决很多问题.我们一般先通过不完全归纳法猜想到一个命题,然后用数学归纳法证明这个问题的正确性.从而使得他们完美地结合在一起.2.用数学归纳法证明不等式的优缺点 我们在前面学习证明不等式时,已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式,还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这就需要数学归纳法. 由于与自然数有关的不等式多是以数列和函数为载体,所以数列和函数的相关知识,如数列通项的递推公式、定义、函数的单调性等都应该及时巩固.在证明过程中,我们还会用到作差比较法、等价转化、分析法、反证法、放缩法等作为辅助手段,所以这些方法和技巧我们要熟悉. 数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题,再推出矛盾,最后否定假设,肯定原命题),分析法也有自己的格式(综合法的逆过程),综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁,在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.高手支招4典例精析【例1】用数学归纳法证明:tantan2+tan2tan3+tan(n-1)tann=(tann-ntan)cot(nN+).思路分析：按照数学归纳法的思路,我们首先验证n=1时,然后假设当n=k时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立.还要结合分析法来证明.证明：(1)当n=1时,左边=0=右边,命题成立;(2)假设n=k时,tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank=(tank-ktan)cot当n=k+1时，tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)=(tank-ktan)cot+tanktan(k+1)=cottank-ktan+tanktan(k+1)tan.若能证明上式tan(k+1)-(k+1)tancot即可,为此只需证明tank-ktan+tanktan(k+1)tantan(k+1)-(k+1)tan,即证tank1+tan(k+1)tan=tan(k+1)-tan,上式显然成立,即n=k+1时,等式成立.综上,由(1)(2)知，对nN+原等式都成立.【例2】利用数学归纳法证明:(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.思路分析：第一步当n=1时,可计算(3n+1)7n-1的值,从而验证它是9的倍数.第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.证明：(1)当n=1时,(31+1)71-1=27,能被9整除,所以命题成立.(2)假设当n=k(kN*)时命题成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.那么当n=k+1时,3(k+1)+17k+1-1=(3k+4)7k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+37k+1+6(3k+1)7k=(3k+1)7k-1+7k(21+63k+6)=(3k+1)7k-1+97k(2k+3).由归纳假设知,(3k+1)7k-1能被9整除,而97k(2k+3)也能被9整除,故3(k+1)+17k+1-1能被9整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切nN*,(3n+1)7n-1能被9整除.【例3】已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.思路分析：本题是考查数列的基础知识和数学归纳法运用以及归纳猜想,分类讨论思想的一道综合题目,能充分展现我们的创新思维.解：(1)设数列bn的公差为d,由题意得bn=3n-2.(2)证明:由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+),而logabn+1=loga,于是,比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1,有(1+1)= =,取n=2,有(1+1)(1+)=，推测:(1+1)(1+)(1+)（*）当n=1时,已验证(*)式成立.假设n=k(k1)时(*)式成立,即(1+1)(1+)(1+),则当n=k+1时,(1+1)(1+)(1+)(1+)(1+),=()3-()3=0,从而(1+1)(1+)(1+)(1+),即当n=k+1时,(*)式成立,由知,(*)式对任意正整数n都成立.于是,当a1时,Snlogabn+1,当0a1时,Snlogabn+1.【例4】设数列an满足:an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜测an的一个通项公式;(2)当a13时,证明对所有的n1,有(i)ann+2;(ii)+.思路分析：首先我们先猜想一下数列的通项公式,然后再运用数学归纳法,注意要用n=k时的假设.(1)解:由a1=2,得a2=a12-a1+1=3,由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4,由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5,由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n1).(2)证明:(i)用数学归纳法证明:当n=1时,a13=1+2,不等式成立.假设当n=k时不等式成立,即akk+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-k)+1=2k+5k+3.也就是说,当n=k+1时,ak+1(k+1)+2,据和,对于所有n1,有an2.(ii)由an+1=an(an-n)+1及(i),对k2,有ak=ak-1(ak-1-k+1)+1ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,ak2k-1a1+2k-2+2+1=2k-1(a1+1)-1,于是,k2.+=.【例5】求证：+2+3+n=n2n-1.思路分析：这是一个有关组合数的问题,它的明显特征是每个组合数的系数与组合数的上标相同,同时它又是一个正整数命题,这就决定了它的证明方法的多样性.证法一:（1）当n=1时,左边=C11=1=20=右边,等式成立;（2）假设n=k时等式成立,即+2+3+k=k2k-1,当n=k+1时,左边=+2+k+(k+1)=+2(+)+k(+)+(k+1)=(+)+2(+2+k)=2k+2k2k-1=(k+1)2k=右边,等式也成立;由(1)(2)知等式对nN*都成立.证法二:f(n)=0+2+3+n,f(n)=n+(n-1)+0,由+得:2f(n)=n(+2+3+n)=n2n,f(n)=n2n-1.【例6】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,nN*,且x10.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.(1)求xn+1与xn的关系式;(2)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)(3)设a2,b1,为保证对任意x1(0,2),都有xn0,nN*,则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.思路分析：实际应用问题要建模,本题的模型为数列模型.然后研究前几项来猜想结论什么时候成立,再运用数学归纳法证明.解:(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn2,因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2,nN*.(*)即xn+1=xn(a-b+1-cxn),nN*(*)(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,nN*,从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0，nN*,所以a-b-cx1=0.即x1=.因为x10,所以ab.猜测:当且仅当ab,且x1=时,每年年初鱼群的总量保持不变.(3)若b的值使得xn0,nN*由xn+1=xn(3-b-xn),nN*,知0xn3-b,nN*,特别地,有0x13-b.即0b3-x1.而x1(0,2),所以b(0,1由此猜测b的最大允许值是1.下证当x1(0,2),b=1时,都有xn(0,2),nN*当n=1时,结论显然成立.假设当n=k时结论成立,即xk(0,2),则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)0.又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+112,所以xk+1(0,2),故当n=k+1时结论也成立.由可知,对于任意的nN*,都有xn(0,2).综上所述,为保证对任意x1(0,2),都有xn0,nN*,则捕捞强度b的最大允许值是1.【例7】已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x，时，f(x).(1)求a的值;(2)设0a1,an+1=f(an),nN*.证明an.思路分析：本题主要考查函数和不等式的概念,考查数学归纳法,以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力.在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式an+1=f(an)=-an2+an的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.(1)解:由于f(x)=ax-x2的最大值不大于所以f()=,即a21.又x,时f(x),所以即.解得a1.由得a=1.(2)证明:(i)当n=1时,0a1,不等式0an成立;因f(x)0,x(0,),所以0a2=f(a1),故n=2时不等式也成立.(ii)假设n=k(k2)时,不等式0ak成立,因为f(x)=x-x2的对称轴为x=,知f(x)在0, 为增函数,所以由0ak得0f(ak)f(),于是有0ak+1-+-=-,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(i)(ii)可知,对任何nN*,不等式an成立.【例8】(2006湖南高考,理19)已知函数f(x)=x-sinx,数列an满足:0a11,an+1=f(an),n=1,2,3,.求证：（1）0an+1an1;(2)an+1an3.思路分析：本题结合函数的单调性,来证明不等式.然后,利用数学归纳法来证明.证明：(1)先用数学归纳法证明0an1,1,2,3,(i)当n=1时,由已知显然结论成立.(ii)假设当n=k时结论成立,即0ak1.因为0x1时,f(x)=1-cosx0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0,1上连续,从而f(0)f(ak)f(1),即0ak+11-sin11.故n=k+1时,结论成立.由(i)(ii)可知,0an1对一切正整数都成立.又因为0an1时,an+1-an=an-sinan-an=-sinan0,所以an+1an,综上所述0an+1an1.(2)设函数g(x)=sinx-x+x3,0x1.由(1)知,当0x1时,sinxx,从而g(x)=cosx-1+=-2sin2+-2()2+=0.所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在0,1上连续,且g(0)=0,所以当0x1时,g(x)0成立.于是g(an)0,即sinan-an+an30.故an+1an3.【例9】(2007天津高考，理21)在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*),其中0.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn;(3)证明存在kN*,使得对任意nN*均成立.思路分析：本题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前n项和公式,数列求和,不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳,推理,运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.(1)解法一:a2=2+2+(2-)2=2+22,a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23,a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24,由此可猜想出数列an的通项公式为an=(n-1)n+2n,以下用数学归纳法证明.当n=1时,a1=2,等式成立.假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)k+2k,那么,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k+1)-1k+1+2k+1.这就是说,当n=k+1时等式也成立,根据和可知,等式an=(n-1)n+2n对任何nN*都成立.解法二:由an+1=an+n+