初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第5章 不等式试题1 新人教版

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第5章 不等式5.1 一元一次不等式（组）5.1.1已知，且，试比较与的大小.解析 首先解关于的方程得.将代入不等式得，即.又因为，所以5.1.2解关于的不等式.解析 由题设知，去分母并整理得.当，即时，；当，即时，无解；当，即时，.评注 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论.5.1.3已知不等式的解为，求不等式的解.解析 已知不等式为.由题设知所以 由，可得，从而，.于是不等式等价于，即，解得.所求的不等式解为.5.1.4如果关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.解析 由已知得，.由已知和的解集相同，所以解得从而的解集是.5.1.5求不等式的正整数解.解析 由原不等式可得，所以是原不等式的解.因为要求正整数解，所以原不等式的正整数解为，2，3.5.1.6如果不等式组的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数、的有序数对（，）共有多少对？解析 由原不等式组可解得.如图所示，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得即所以，1，2，9共个，26，32共个，于是有序数对（，）共有个.5.1.7设、是正整数，求满足，且最小的分数.解析 欲求的最小值，只需将放入一个不等式，然后估计出的下界，这里要用到整数的离散性，即若整数、满足，则.原不等式等价于即所以 故，解得.又分数满足，故最小且满足题意的分数是.5.1.8已知，求的最大值和最小值.解析 因为，所以的最大值为，最小值为；的最大值为，最小值为.故的最大值为；的最小值为.5.1.9求同时满足，和的的最大值及最小值.解析 由和，得，.再由得，解此不等式，得.所以的最大值为，最小值为.5.1.10求适合，且满足方程的取值范围.解析 ，所以.于是，.故的取值范围是.5.1.11当、为非负数时，求的最大值和最小值.解析 由解得因为、均为非负数.所以，从上面可得.所以的最大值是，的最小值是.5.2 含绝对值的不等式（组）5.2.1（1）解不等式；（2）解不等式.解析 根据绝对值的非负性，易知（1）无解，（2）的解集为全体实数.5.2.2解不等式.解析 原不等式的零点为、.根据零点的情况分类讨论.（1）当时，原不等式化为，解之，得.所以，此时不等式的解为.（2）当时，原不等式化为，解之，得.所以，此时不等式的解为.（3）当时，原不等式化为，解之，得.所以，此时不等式的解为.综上，原不等式的解为或.评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义，去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法.5.2.3解不等式.解析1 如图，分别用、两点代表和.表示某点（所对应的点）到点和点的距离差.又当时，点到、两点的距离差恰好为.当点靠近点时，到、两点的距离差变小，所以原不等式的解为.解析2 因为、2分别是和的零点，于是分三种情况讨论：（1）当时，原不等式变为，此式恒成立，故是原不等式的解.（2）当时，原不等式变为，解得 .所以，是原不等式的解.（3）若，原不等式变为，即，此不等式无解.综上所述，原不等式的解为.5.2.4解不等式.解析 原不等式等价于，或. 的解为；的解为.所以，原不等式的解为或.5.2.5解不等式：.解析 注意，整体分解.由题意得，即 或，而由得或，由得.所以，原不等式的解为或或.5.2.6解不等式组：解析 由得或.由得.于是原不等式组的解就是即或.5.2.7取何值时，不等式无实数解？解法1 欲使不等式无实数解，关键是求出的最小值.因、的零点分别是、.当时，.当时，有最小值；当时，最小值及最大值都是；当时，无最小值.故的最小值为.欲使不等式无实数解，则.解法2 由，得，故欲使不等式无实数解，只需即可.5.2.8若不等式有解，求的取值范围.解析1 利用不等式性质：，又，可得.解析2 根据绝对值的几何意义，因为、分别表示数轴上点到点和的距离，所以表示数轴上某点到：和：的距离和.从图可见，不论在点左边或者点右边时，到、点距离和至少为；当在两点之间时，到、点距离和为.所以.评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法（1）当时，原不等式化为；（2）当时，原不等式化为；（3）当时，原不等式化为.综上所述，.本题中，两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义.5.2.9已知且，求的取值范围.解析 整理可得.因为，所以，即 .（1）当时，解之得.（2）当时，解之得.综上，的取值范围为或者.5.2.10解不等式.解析1 因为，所以或，即或者或者.解析2 考虑函数.注意到对任意实数，有.从函数图象来看，这个函数的图象关于轴对称，即只需作出时的图象，再把函数图象关于轴作对称即可.如图，可知，原不等式的解为使得图象在轴上方的的取值集合：或者或者.评注 当我们从函数图象的角度去解不等式时，有两点需要引起读者注意：表示的函数图象是在轴正向部分图象及其与关于轴翻折；的图象是把在轴下方的图象关于轴翻折后的图象.由这两点，利用数形结合的方法，是比较巧的.5.2.11解不等式.解析 （1）当，即或时，原不等式变形为.解不等式组，得或.（2）当，即时，原不等式变形为.此时，不等式组无解.综上，原不等式的解为或.（本题从几何解释为使的图象在图象上方的的取值范围.如图.）5.2.12已知，且，求的最小值和最大值.解析 解题的关键是把绝对值符号去掉，必要时可以分类讨论.因为，所以，.所以.又，故，从而.当时，有.因为，所以，此时.当时，有.同样，当时，即.综上所述，.又当时，当时，所以，的最值是，最大值是.5.2.13实数、满足不等式，.求证：.解析1 若、中有一个为零时，设，则，所以，故.下面可设、均不等于零.（1）当、全为正数时，则，这不可能.（2）当、为二正一负时，不妨设，.则由，得，所以.又有得：，所以，从而.（3）当、为一正二负时，不妨设，于是由，得，所以.又有得：，所以，从而.（4）当、全为负数时，于是由条件得，所以，所以，矛盾.综上所述，得.解析2 把题设的个不等式两边平方后相加，得，故，从而.5.2.14实数、满足，.求最大的实数，使得不等式恒成立.解析 当，时，则实数、满足题设条件，此时.下面证明：不等式对满足题设条件的实数、恒成立.由已知条件知，、都不等于，且.因为，所以.由根与系数的关系知，、是一元二次方程的两个实数根，于是，故.所以.5.2.15已知（1）；（2）当时，满足；（3）当时，有最大值.求常数、.解析 由（1）知为开口向上的抛物线，由（1）、（3）知.由（2）知，.由、知.由、得.故时，达到最小值.因此，.由得.故，.5.2.16证明，其中，表示、这三个数中的最大者.解析 欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果为、中的最大者，即证，依次再考虑、是它们中的最大值便可证得.（1）当，时，.（2）当，时，.（3）当，时，因为，所以.从而，.5.3 一元二次不等式5.3.1设为参数，解关于的一元二次不等式.解析 分解因式.（1）若，解为；（2）若，解为；（3）若，原不等式变成，无解.5.3.2设为参数，解关于的一元二次不等式.解析 （1）时，原不等式为，解为.（2）时，分解因式得.若，则.（i），即时，解为.（ii），即时，解为.（iii），即时，不等式无解.若，则，解为及.5.3.3若一元二次不等式的解是，求不等式的解.解析1 因一元二次不等式的解是，所以，不等式与等价.即（）与等价.所以即故不等式，即，且.化为，解得，或.解析2 因一元二次不等式的解是，所以的根是1，2，且.由韦达定理，得故不等式的解是，或.5.3.4欲使不等式与不等式无公共解，求的取值范围.解析 不等式的解是.不等式，即.（1）当时，不等式为，即，符合题意；（2）当，即时，不等式之解为，符合题意；（3）当，即时，我们分两种情况讨论：若，即时，不等式之解为，或，不合题意；若，即时，不等式之解为，或，欲使不等式与不等式无公共解，则须，从而.综上所述，欲使不等式与不等式无公共解，的取值范围是5.3.5对一切实数，不等式恒成立，求的值.解析 由于不等式对一切恒成立，故应该满足即所以.5.3.6设有不等式，试求对于满足的一切成立的的取值范围.解析 令，则在上能取到的最小值为，最大值为，从而总有即所以或于是的取值范围为.5.3.7解不等式.解析 原不等式可化为，即. 因为，所以式等价于，所以或.5.3.8解不等式.解析 首先，由得.将原不等式变形为.由于上式两边均非负，故两边平方后，整理得，所以，即，并且，所以，或.综上可得，原不等式的解为.5.3.9求不等式的整数解的个数.解析 不等式等价于不等式组即解得或；解得.故原不等式组的解为或.的整数解为，3，4，5共四个.5.3.10实数、满足.证明：.解析 要证，即证，联想到一元二次方程根的判别式，进而构造符合条件的二次函数，通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.设辅助函数，令，得函数值；令，得函数值.因为，所以.这说明，辅助函数上两点、分布在轴的两侧，由此可见抛物线与轴有两个交点，也就是说方程有两个不相等的实数根.因此，故.评注 有些数学问题，可以借助函数，利用对函数图象与性质的研究，将一些抽象的数量关系通过函数图象形象直观地反映出来，这种数形结合的思想非常重要.5.3.11满足下列两个条件：（1）对所有正整数，；（2）存在正整数，使的正整数的个数有几个？解析 先求满足条件（1）的正整数.由对所有正整数都成立，则不小于的最大值，故.再求满足条件（2）的正整数.，.由于是正整数，且大于，故此时方程的两根、（均大于），满足，即，从而，当时，必存在正整数，使得.所以，满足条件（1）、（2）的正整数有（个）.5.3.12设为实数，解不等式.解析 （1）若，由原不等式，得此为矛盾不等式组，无解.（2）若，则有由，得.由，得，.此时又分两种情形：当时，则不等式无解；当时，注意到.此时不等式的解为.综上所述，当时，原不等式才有解，此时不等式的解集为.5.3.13设，解不等式.解析 因为，的左端非负，因此.下面分两种情形讨论.（1）时，式左右两边平方得，整理得.因为，