高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_2双曲线的几何性质学案新人教b版选修2_1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题知识点一双曲线的范围、对称性思考观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？梳理(1)双曲线1(a0，b0)中要求x_，y_.双曲线1(a0，b0)中要求x_，y_.(2)双曲线的对称轴为_，对称中心为_知识点二双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？梳理双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为_，_；双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为_，_.知识点三渐近线与离心率思考1能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？思考2离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？梳理(1)渐近线：直线_叫做双曲线1(a0，b0)的渐近线(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比_，叫做双曲线的离心率，用e表示(e1)(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)类型一已知双曲线的标准方程求其简单几何性质例1求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程引申探究将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)过点(3，9)，离心率e.反思与感悟(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程类型三共轭双曲线与等轴双曲线命题角度1共轭双曲线例3已知双曲线E与双曲线1共渐近线，且过点A(2，3)若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程反思与感悟双曲线1(a0，b0)与双曲线1(a0，b0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线(2)四个焦点共圆(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上跟踪训练3与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)的双曲线的共轭双曲线的方程为_命题角度2等轴双曲线例4已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的方程反思与感悟(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线(2)等轴双曲线的性质：渐近线方程为yx；渐近线互相垂直；离心率e.(3)等轴双曲线的特征是ab，等轴双曲线的方程可以设为x2y2(0)当0时，双曲线的焦点在x轴上；当0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为()A. B2C. D.类型四直线与双曲线的位置关系命题角度1直线与双曲线位置关系的判定与交点问题例5已知直线ykx1与双曲线x2y24.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值反思与感悟研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.当b2a2k20，即k时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；如图，0)与直线l：xy1相交于A，B两个不同的点求双曲线的离心率e的取值范围；设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值(2)已知过点P(1，1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值命题角度2直线与双曲线的相交弦及弦长问题例6(1)求直线yx1被双曲线x21截得的弦长；(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x21截得的弦中点的轨迹方程反思与感悟(1)利用弦长公式|AB|xAxB|，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系其具体解题思路如下：设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|x1x2|.涉及弦长的问题，常常设而不求中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线1(a0，b0)上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得，即kAB.跟踪训练6已知双曲线的方程为2x2y22.(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由1设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3C2 D12已知双曲线1(a0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于()A. B.C. D.3等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.14若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_5设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解提醒：完成作业第二章2.3.2答案精析问题导学知识点一思考(1)有限制，因为1，即x2a2，所以xa或xa.(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心梳理(1)(，aa，)RR(，aa，)(2)x轴、y轴原点思考 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点(2)是，只有两个顶点双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上梳理(a，0)(a，0)(0，a)(0，a)思考1能，离心率e .思考2有影响，因为e ，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大梳理(1)yx(2)(3)yxyx题型探究例1解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e ，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为y x，即yx.引申探究解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3，0)，(3，0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.跟踪训练1解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3，c5，焦点坐标是(0，5)，(0，5)，离心率e，渐近线方程为yx.例2解(1)方法一椭圆1的焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，设双曲线的方程为1(a0，b0)，则有解得故所求双曲线的标准方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(160)，则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为1，或1，把(3，9)代入，得k161与k0矛盾，无解；把(3，9)代入，得k9，故所求双曲线的标准方程为1.跟踪训练2解(1)设所求双曲线的方程为(0)点M(3，2)在双曲线上，即2.双曲线的标准方程为1.(2)e，a23b2.又直线AB的方程为bxayab0，d，即4a2b23(a2b2)解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.例3解由题意，设双曲线E的方程为t(t0)点A(2，3)在双曲线上，t，t，双曲线E的标准方程为1.又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，故双曲线M的标准方程为1.跟踪训练31例4解设双曲线方程为x2y2a2(a0)，则它的渐近线方程为yx，焦点坐标为(a，0)，(a，0)，a，双曲线的方程为x2y22.跟踪训练4A例5解由得(1k2)x22kx50.(1)直线与双曲线没有公共点，则式方程无解解得k或k，则k的取值范围为(，)(，)(2)直线与双曲线有两个公共点，则式方程有两个不相等的根解得(，1)(1，1)(1，)(3)直线与双曲线只有一个公共点，则式方程只有一解当1k20，即k1时，式方程只有一解；当1k20时，应满足4k220(1k2)0，解得k，故k的值为1或.跟踪训练5(1)解由得(1a2)x22a2x2a20，(*)由题意得得0a且e.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0，1)，(x1，y11)(x2，y21)，故x1x2.又x1，x2是方程(*)的两个根，x2，x.又a0，a.(2)解设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)1，代入双曲线方程得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.若4k20，即k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得k.综上可得，直线l的斜率k的取值为或2.例6解(1)由得4x2(x1)240.化简得3x22x50.设此方程的解为x1，x2，则有x1x2，x1x2.故所截得的弦长d|x1x2|.(2)方法一该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为ykx1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)由得(4k2)x22kx50.设此方程的解为x1，x2，则4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1)方法二设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，则，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，当直线AB的斜率k0时，得，即，整理得4x2y2y0(y1)当k0时，y1y21，x1x20，x0，y1，也满足4x2y2y0.综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2y2y0(y0.当k22，即k时，此时与渐近线的斜率相等，即k的直线l与双曲线不可能有两个交点综上可知，所求直线的方程为4xy70.(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有1，1，x1x22，y1y22，且两式相减，得(2x2x)(yy)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直线