高中数学 第二章 概率 2_3 独立性课堂导学 苏教版选修2-31

高中数学 第二章 概率 2.3 独立性课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、条件概率【例1】 一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩,问这时另一个小孩是男孩的概率是多少?解析:一个家庭的两个小孩子只有4种可能:两个都是男孩,第一个是男孩,第二个是女孩,第一个是女孩,第二个是男孩,两个都是女孩.由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意,设基本事件空间为,A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”，则=（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），A=（男,女）,(女,男),(女,女),B=(男,男),(男,女),(女,男),AB=(男,女),(女,男),问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求P(BA).由上面分析可知P(A)=,P(AB)=.由公式可得P(BA)=,因此所求条件概率为.二、事件的独立性的应用【例2】 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是0.6,计算:(1)两人都投中的概率;(2)其中恰有一人投中的概率;(3)至少有一人投中的概率.思路分析:甲、乙两人各投篮一次,甲(或乙)是否投中,对乙(或甲)投中的概率是没有影响的,也就是说,“甲投篮一次,投中”与“乙投篮一次，投中”是相互独立事件.因此,可以求出这两个事件同时发生的概率.同理可以分别求出,甲投中与乙未投中,甲未投中与乙投中,甲未投中与乙未投中同时发生的概率,从而可以得到所求的各个事件的概率.解:(1)设A=“甲投篮一次，投中”，B“乙投篮一次，投中”，则AB “两人各投篮一次，都投中”.由题意,知事件A与B相互独立,则有P(AB)=P(A)P(B)=0.60.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次,恰好有一人投中”包括两种情况:一种是甲投中、乙未投中(事件A发生),另一种是甲未投中、乙投中(事件B发生).根据题意,这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生,即事件A与B互斥,并且A与,与B各自相互独立,因而所求概率为P(A)+P(B)=P(A)P(B)+P()P(B)=0.6(1-0.6)+(1-0.6)0.6=0.48.(3)事件“两人各投篮一次,至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次,均未投中”的概率是P()=P()P()=(1-0.6)(1-0.6)=0.16.因此,至少有一人投中的概率为P(AB)=1-P()=1-0.16=0.84.三、条件概率与事件独立性的综合应用【例3】 益趣玩具厂有职工500人,男、女各占一半,男、女职工中非熟练工人分别为40人与10人,现从该企业中任选一名职工,试问:a.该职工为非熟练工人的概率是多少？b.若已知选出的是女职工,她是非熟练工人的概率又是多少？思路分析:题a的求解同学们已很熟,它是一般的古典概型问题.b的情况有所不同,它增加了一个附加信息,设A表示非熟练工人,B表示出的是女职工,问题b可以叙述为在已知事件B发生的条件下,求事件A发生的概率.解:设A=“非熟练工人”,B=“选出的是女职工”,P(A)=,P(A|B)=.各个击破类题演练 1在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋,2个白皮蛋,每次取一个,有放回地取两次,求在已知第一次取到红皮蛋的条件下,第二次取到红皮蛋的概率.解析:设A=第一次取到红皮蛋，B第二次取到红皮蛋，则P（A）=，由于是有放回地抽取，所以P(B)=.AB两次都取到红皮蛋,由于第一次取一个鸡蛋有5种取法,第二次取一个鸡蛋也有5种取法,于是两次共55种取法,其中都取到红皮蛋的取法有33种.因此,两次都取到红皮蛋的概率为P(AB)=.所以P(BA)=.变式提升 1设A、B互斥,且P(A)0,则P(BA)=_.若A、B相互独立,P(A)0,则P(BA) =_.解析:A、B相互独立,相互不影响,P(BA)=P(B).答案:0P(B)类题演练 2甲、乙两人独立地解开一密码,甲完成的概率是,乙完成的概率是,则甲、乙都完不成的概率是多少?解析:A、B独立,则A、B独立.甲完成设为事件A,乙完成设为事件B,则P(AB)=P(A)P(B)=1-P(A)1-P(B)=.变式提升 2分别掷两枚均匀硬币,令A=甲出现正面,B =乙出现正面.验证:事件A、B是独立的.证明:这时样本空间=(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)共含4个基本事件,它们是等可能的,它们概率均为.则A=(正、正),(正、反),B=(正、正),(反、正),AB=(正、正).P(A)=P(B)=.故P(AB)= =P(A)P(B),A、B相互独立.类题演练 3某种产品用满6 000 小时未坏的概率为75%,用满10 000小时未坏的概率为50%.现有这样的一个元件,已用过6 000 小时未坏,求它能用10 000 小时的概率是多少.解析:设A=用满10 000 小时未坏,B=用满6 000 小时未坏,P(B)=,P(A)=,由于A B,AB=A,因而P(AB)=P(A)= ,P(A|B)=.变式提升 3设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,它能活到