高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用例题与探究 北师大版选修

高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具.基本思路:建立数学模型.2.最值和极值的区别与联系(1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念;(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一;(3)极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.3.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最大值或最小值的步骤可按以下步骤:(1)求出二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的导数f(x)=2ax+b;(2)讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间(m,n)内是否有极值点,即方程f(x)=0的根x=是否在区间(m,n)内,确定二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最大值或最小值:若方程f(x)=0的根x=在区间(m,n)内,即mn,此时f()必为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间(m,n)内的最大值或最小值,再求出f(m),f(n)的值,f(),f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最大值和最小值;若方程f(x)=0的根x=不在区间(m,n)内,即m或n时,此时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间(m,n)内是单调函数,只需求出f(m),f(n)的值,f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最大值和最小值.高手支招4典例精析【例1】 当x(1,2)时,函数f(x)=恒大于正数a,试求函数y=lg(a2-a+3)的最小值.思路分析:欲求y=lg(a2-a+3)的最小值,则应知a2-a+3的最小值,于是必须确定a的取值范围,即必须先求函数f(x)= 的最小值.解:y=()=,当x(1,2)时,y0,f(x)在(1,2)上单调递减,于是f(x)min=f(2)=.由题意知a的取值范围是a.y=lg(a2-a+3)=lg(a)2+,故当a=时,ymin=lg.【例2】 已知A、B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8vv0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.解:设每小时的燃料费为y1,比例系数为k(k0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,720=k122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y1,y=.令y=0,v=16.当v16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省;当v16且实际速度(8,v时,y0,即y在(8,v上为减函数,当实际速度为v16时,ymin=.综上,当v16时,实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省,为32 000元;当v16时,则实际速度为v时,全程燃料费最省,为.【例3】(2006福建高考，文21)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)0的解集是(0,5)且f(x)在区间-1,4上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.解:(1)f(x)是二次函数,且f(x)0的解集是(0,5),不妨设f(x)=ax(x-5)(a0).f(x)的对称轴为x=2.5,经比较可知,-1和4当中-1离2.5较远，f(x)在区间-1,4上的最大值12在x=-1处取得,f(-1)=6a=12,a=2,f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(xR)。(2)由f(x)+=0,即2x2-10x+=0,即2x3-10x2+37=0(x0).令h(x)=2x3-10x2+37,则h(x)=6x2-20x=2x(3x-10),当x(,+)时,h(x)0,h(x)是增函数,当x(0,)时,h(x)0,h(x)是减函数,当x(-,0)时,h(x)0,h(x)是增函数,x=0是h(x)的极大值点,x=是h(x)的极小值点.h(4)=50,h()=0,h(3)=10,h(-1)=250,h(-2)=-190,方程h(x)=0在区间(-2,-1),(3,),(,4)内分别有唯一实根,存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.【例4】(2006福建高考，理19)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=x+8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？思路分析:本题所涉及的“耗油最少”的问题实际上就是求函数最小值的问题,利用相关的导数知识即可解决.解:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),要耗油(403-40+8)2.5=17.5(升).答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=(x3-x+8)=x2+-(0x120)h(x)=(0x120).令h(x)=0得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时,h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.且h(120)=10+125.答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.【例5】计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit).为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.问题:现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域.(1)是不是r越小,磁盘的存储量越大？(2)r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？思路分析:由题意知,存储量=磁道数每磁道的比特数,我们可以据此列出函数关系式,“磁盘具有最大存储量”的问题实际上就是求相应的磁盘存储量最大值的问题.解:设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达.由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达.所以,磁盘总存储量:f(r)=r(R-r).(1)f(r)是一个关于r的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.(2)为求f(r)的最大值,计算f(r)=0.f(r)=(R-2r),令f(r)=0,解得r=.当r时,f(r)0;当r时,f(r)0.所以r=时,磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为.【例6】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8 r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小？思路分析:这是一个利润最大值和最小值的问题,只要列出利润关于瓶子半径的函数表达式,然后求出其最大值即可.解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是:y=f(r)=0.2r3-0.8r2=0.8(-r2),0r6.令f(r)=0.8(r2-2r)=0,解得r=2(r=0舍去).当r(0,2)时,f(r)0;当r(2,6)时,f(r)0.当半径r2时,f(r)0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r2时,f(r)0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.答:(1)半径为6 cm时,利润最大；(2)半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.【例7】(2007重庆高考，文20) 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长,宽,高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少？解:设长方体的宽为x m ,则长为2x m,高为h=4.5-3x(m) (0x).故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)(0x).从而V(x)=18x-18x2=18x(1-x).令V(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1.当0x1时,V(x)0;当1x时,V(x)0.故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.从而最大体积V=V(1)=912-613=3(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.答:当长方体的长为2 m,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3.高手支招5思考发现1.求函数的最值与求函数的极值不同的是,在求最值时,不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需要将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.2.在实际问题中,会遇到开区间上或无穷区间上的函数.有时会遇到在区间内只有一个点使f(x)=0,如函数