高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第1节 任意角弧度制及任意角的三角函数教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第三章三角函数、解三角形深研高考备考导航为教师备课、授课提供丰富教学资源五年考情考点2016年2015年2014年2013年2012年三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式7,5分(理) 16,4分(理)8,5分(文)16,4分(文)18(1)，7分(理)6,5分(理) 3,5分(文)18，(1)，7分(理)18,5分(文)三角函数的图象与性质5,5分(理) 3,5分(文)5,5分(文)11,6分(理)4,5分(理) 10,5分(理)6,5分(文)4,5分(理)4,5分(理) 6,5分(文)三角恒等变换16(1)，7分(理) 11,6分(文)16(2)，7分(文)16(1)，7分(理)7,5分(理)16(1)，7分(文)4,5分(理)18(2)，7分(理)18,4分(文)6,5分(理)6,5分(文)18(1)，7分(理)正弦定理、余弦定理16,14分(理) 16,14分(文)16,14分(理)16(2)，7分(文)17,4分(理)18(2)，7分(理)20(2)，7分(理)18,6分(文)7,5分(理)16,4分(理)18,14分(文)18,14分(理)18,14分(文)重点关注三角函数，解三角形是浙江高考命题的热点，分值一般在20分左右，主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换、正、余弦定理及其应用、且题目常考常新第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角度与弧度的换算：a1 rad；b.1 rad.弧长公式：lr|.扇形面积公式：Slrr2.3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函数值与终边上点P的位置无关()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案(1)(2)(3)(4)2若cos 0，且sin 20，则角的终边所在象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D由cos 0，sin 22sin cos 0得sin 0，则角的终边在第四象限，故选D.3(教材改编)已知角的终边与单位圆的交点为M，则sin ()A.BC.DB由题意知|r|22y21，所以y.由三角函数定义知sin y.4在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为()A10B9C.D.D单位圆的半径r1,200的弧度数是200，由弧度数的定义得，所以l.5已知半径为120 mm的圆上，有一条弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_rad. 【导学号：51062093】12由题意知1.2 rad.角的有关概念及其集合表示(1)若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)已知角的终边在如图311所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_图311(1)C(2)(kZ)(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角(2)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为(kZ)规律方法1.与角终边相同的角可以表示为2k(kZ)的形式，是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用2由所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论变式训练1(1)设集合M，N，那么()AMNBMNCNMDMN(2)已知角45，在区间720，0内与角有相同终边的角_.(1)B(2)675或315(1)法一：由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选B.法二：由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.(2)由终边相同的角的关系知k36045，kZ，取k2，1，得675或315.扇形的弧长、面积公式(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解(1)设圆心角是，半径是r，则解得(舍去)或扇形的圆心角为.5分(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40.7分又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.10分当且仅当r10时，Smax100，此时2101040，2，当r10，2时，扇形的面积最大.14分规律方法1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解2利用公式：(1)l|R；(2)SlR；(3)S|R2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量变式训练2已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB为等边三角形，因此弦AB所对的圆心角.5分(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l|R10，S扇形RlR2.10分又SAOBOAOBsin25，S弓形S扇形SAOB50.14分三角函数的定义(1)若tan 0，则()Asin 0Bcos 0Csin 20Dcos 20(2)(2017浙江名校第三次联考)已知角的终边经过点A(，a)，若点A在抛物线yx2的准线上，则sin ()AB.CD.(1)C(2)D(1)由tan 0知角是第一或第三象限角，当是第一象限角时，sin 22sin cos 0；当是第三象限角时，sin 0，cos 0，仍有sin 22sin cos 0，故选C.(2)抛物线方程yx2可化为x24y，抛物线的准线方程为y1.点A在抛物线yx2的准线上，A(，1)，由三角函数的定义得sin .规律方法1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题2确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断变式训练3(1)(2017绍兴市期中)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan 2()A.BC.D(2)函数y的定义域为_. 【导学号：51062094】(1)A(2)(kZ)(1)由三角函数的定义可得cos .cos x，x，又是第二象限角，x0，故可解得x3，cos ，sin ，tan ，tan 2.故选A.(2)2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)思想与方法1在利用三角函数定义时，点P(x，y)可取终边上任意一点，若点P在单位圆上，则sin y，cos x，tan ；若|OP|r，则sin ，cos ，tan .2三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦3利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法易错与防范1第一象限角、锐角、小于90的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况课时分层训练(十五)任意角、弧度制及任意角的三角函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数有()A1个B2个C3个D4个C是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2C.D2sin 1C由题设知，圆弧的半径r，圆心角所对的弧长l2r.3已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限B由题意可得则所以角的终边在第二象限，故选B.4(2017宁波镇海中学)已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为()A.B.C.D.C因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tan ，则.5已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()ABC.D.B取终边上一点(a,2a)(a0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，故cos 22cos21.二、填空题6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_. 【导学号：51062095】设扇形半径为r，弧长为l，则解得7已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.8因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.8在(0,2)内，使sin xcos x成立的x的取值范围为_. 【导学号：51062096】如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sin cos ，sin cos .根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x.三、解答题9一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得4分圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1 rad.8分AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm.14分10已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos .解的终边过点P(x，1)(x0)，tan ，2分又tan x，x21，即x1.4分当x1时，sin ，cos ，因此sin cos 0；9分当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值为0或.14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017杭州二中模拟)已知角的终边经过点P(4,3)，函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为()A.B.CDD由于角的终边经过点P(4,3)，所以cos .再根据函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得2，所以2，所以f(x)sin(2x)，所以fsincos .故选D.2函数y的定义域是_. 【导学号：51062097】(kZ)由题意知即x的取值范围为2kx2k，kZ.3已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号解(1)由sin 0，知在第三、四象限或y轴的负半轴上由tan 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.4分(2)由2k2k，kZ