高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题二函数与导数第四讲导数的综合应用适考素能特训文

专题二 函数与导数 第四讲 导数的综合应用适考素能特训 文一、选择题12015陕西高考设f(x)xsinx，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)为奇函数又f(x)1cosx0，f(x)单调递增，选B.22016河南洛阳质检对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析当x1时，f(x)1时，f(x)0，此时函数f(x)递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)2f(1)，故选A.32016河北石家庄模拟若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4，故a的取值范围是(，442016河北衡水中学调研已知函数f(x)的两个极值点分别为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数yloga(x4)(a1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案A解析f(x)x2mx0的两根为x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，则即作出区域D，如图阴影部分，可得loga(14)1，所以1a3.52016江西八校联考已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3答案B解析x0时，f(x)0，0，即0.当x0时，由式知(xf(x)0，U(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且U(0)0f(0)0，U(x)xf(x)0在(0，)上恒成立又0，F(x)0在(0，)上恒成立，F(x)在(0，)上无零点当x0时，(xf(x)0在(，0)上恒成立，F(x)xf(x)在(，0)上为减函数当x0时，xf(x)0，F(x)0，F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述，F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点，故选B.二、填空题72015山西四校联考函数f(x)若方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_答案解析在平面直角坐标系中作出函数yf(x)的图象，如图，而函数ymx恒过定点，设过点与函数yln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)因为yln x的导函数y，所以图中yln x的切线l1的斜率为k，则，解得x0，所以k.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.82015河南郑州质检三设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集为_答案(，2016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0即为F(x2014)F(2)0，即F(x2014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x20142，x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有_(1)ff(3)f(0)f(4)f0，且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可构造函数g(x)，则g(x)0，所以g(x)为偶函数且在上单调递增，所以有gg2f，ggf，gf.由函数单调性可知ggg，即ffg(0)f(0)，所以(3)正确三、解答题102016珠海模拟某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，因为x0，所以P(x)0时，x12，当0x0，当x12时，P(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，当a0时，当0xa时，f(x)a时，f(x)0，所以f(x)在(0，a)上为减函数，f(x)在(a，)上为增函数(2)由题意知xaln x10在x1，)恒成立，设g(x)xaln x1，x1，)，则g(x)1，x1，)，设h(x)2x22ax1ln x，则h(x)4x2a，当a0时，4x为增函数，所以h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a0时，h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a时，当x时，2a12x，由(1)知，当a1时，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x0，此时g(x)0，所以g(x)在上单调递减，在上，g(x)g(1)0，不符合题意综上所述a.122016济宁模拟已知函数f(x)exaxa(其中aR，e是自然对数的底数，e2.71828)(1)当ae时，求函数f(x)的极值；(2)当0a1时，求证f(x)0；(3)求证：对任意正整数n，都有e.解(1)当ae时，f(x)exexe，f(x)exe，当x1时，f(x)1时，f(x)0.所以函数f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在x1处取得极小值f(1)e，函数f(x)无极大值(2)证明：由f(x)exaxa，得f(x)exa，当a0时，f(x)ex0恒成立，满足条件当0a1时，由f(x)0，得xln a，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，所以函数f(x)在xln a处取得极小值即为最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因为0a1，所以ln a0，所以aln a0所以f(x)min0，所以当0a1时，f(x)0；(3)证明：由(2)知，当a1时，f(x)0恒成立，所以f(x)exx10恒成立，即exx1，所以ln (x1)x，令x(nN*)，得ln ，所以ln ln ln 1n1.所以e.典题例证2016全国卷设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，11，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.审题过程求出导函数f(x)然后确定函数f(x)的单调性利用(1)的结论证明不等式；构造新函数，通过研究新函数的单调性进行证明.(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当