高中数学 1_2_3 三角函数的诱导公式互动课堂学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.角与+k2(kZ)的三角函数的关系在直角坐标系中，与+k2的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，即cos(+k2)=cossin(+k2)=sintan(+k2)=tan(1)利用公式（1），我们可把绝对值大于2的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2角的三角函数问题来研究.2.角与-的三角函数间的关系 如下图所示，设单位圆与角，角-的终边的交点分别为P和P，容易看出点P和点P关于x轴对称，已知点P的坐标是（cos,sin）,则P的坐标是（cos,-sin），于是得到cos(-)cossin(-)=-sintan(-)-tan (2) 利用公式（2），我们可用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式（2）还可看出，余弦函数是偶函数，而正弦函数、正切函数都是奇函数.3.角与+（2k+1）(kZ)的三角函数间的关系设角与+的终边与单位圆分别交于点P和P，如下图所示 容易看出，+与-,+3,-3,+(2k+1)(kZ)的终边相同，则它们的三角函数值也相等，由点P与点P关于原点对称，它们的对应坐标互为相反数，所以cos+(2k+1)=-cossin+(2k+1)=-sintan+(2k+1)=tan (3)疑难疏引 （1）由公式（1）和（3）可以看出，与加上的偶数倍的所有三角函数值相等；与加上的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角与加上的整数倍的正切、余切值相等，即sin(+n)=cos(+n)= tan(+n)=tan,nZ. (2)由诱导公式（2）（3），我们可以得到两个互为补角三角函数的关系，与-两角互补，则sin(-)sin,cos(-)=-cos，这就是说，两个互为补角的正弦值相等，余弦值是互为相反数，例如sin=sin=,cos=-cos=,cos=-cos=.(3)因为任意角都可化为+k的形式，并使|，所以利用公式（1）（2）（3），我们可把任意角三角函数求值问题转化为0至之间的角的三角函数求值问题.公式（1）（2）（3）都叫做诱导公式.利用诱导公式可求三角函数式的值或化简三角函数式.4.与+的三角函数间的关系如图所示，设的终边与单位圆相交于点P（cos,sin）,+的终边与单位圆相交于点N（cos(+）,sin(+)，又因为点P关于直线y=x的轴对称点M的坐标为M（sin,cos）.点M关于y轴的对称点的坐标为N（-sin,cos）.点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于单位圆作了一次旋转，旋转的大小为（如图所示）：2（-）+2=.所以cos(+)=-sinsin(+)=cos (4)在公式（4）中，以-替代，可得另一组公式cos(-+)=sinsin(-+)=cos(4)由三角函数之间的关系又可得tan(+)=-cot,cot(+)=-tan,tan(-+)=cot,cot(-+)=tan.规律总结 规律总结我们知道任意一个角都可以表示为k+（其中|）的形式.这样由公式（4）就可把任意角的三角函数求值问题转化为0之间角的三角函数求值问题.5.关于五组诱导公式必须注意的几个问题（1）公式中的角可以是任意角；（2）这五组诱导公式可以叙述为：+k2,-,+(2k+1)的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.为了便于记忆，也可简单地说成：“函数名不变，符号看象限”.+,-+的三角函数值，等于的余名三角函数值，前面加上一个把看成锐角是原函数值的符号，记忆口诀为：“函数名改变，符号看象限”.这两套公式可以归纳为：k+(kZ)的三角函数值，当k为偶数时，得的同名函数值；当k为奇数时，得的异名函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，概括为：“奇变偶不变、符号看象限”.这里的奇偶是指k的奇偶.活学巧用【例1】确定下列三角函数值的符号：（1）cos；（2）sin（-760）；（3）tan；（4）cos1 962.解析：（1）因为cos=cos（+4）=cos，而是第一象限角，所以cos0.（2）因为sin（-760）=sin（-40-2360）=sin（-40），而-40是第四象限角.所以sin（-760）0.（3）因为tan=tan(+2)=tan，而是第一象限角，所以tan0.（4）因为cos1 962=cos（162+5360）=cos162，而162是第二象限角，所以cos1 9620.【例2】 求下列各三角函数值:(1)sin();(2)cos();(3)tan(-405).分析：可先利用公式（2）把负角的三角函数转化成正角的三角函数，再利用公式（1）把绝对值大于2（或360）的角的三角函数转化成绝对值小于2（或360）的角的三角函数去求值.解:(1)方法一:sin()=-sin=-sin(+6)=-sin=-.方法二:sin()=sin(-6)=sin(-)=-sin=-.(2)cos()=cos=cos(+6)=cos=;cos()=cos(-6)=cos(-)=cos=.(3)tan(-405)=-tan405=-tan(45+360)=-tan45=-1;tan(-405)=tan(-45-360)=tan(-45)=-tan45=-1.【例3】 求下列三角函数式的值:(1)sin495cos(-675);(2)sin(-1 200)tan(-)-cos585tan().解析：（1）sin495cos（-675）=sin（135+360）cos675=sin135cos315=sin（180-45）cos（360-45）=sin45cos45=.（2）sin（-1 200）cot-cos585tan（）=-sin1 200-cos585=-sin（120+3360）+cos（225+360）=-sin120+cos225=-sin（180-60）+sin（180+45）=-sin60=cos60-sin45=【例4】求sin（2n+）cos（n+）的值（nZ）.解析：（1）当n为奇数时，原式=sin（-cos）=sin（-）-cos（+）=sincos=.（2）当n为偶数时,原式=sincos=sin（-）cos（+）=sin（-cos）=（-）=.综上知：当n为奇数时，原式=，当n为偶数时，原式=.【例5】 已知sin（+）=，求tan（-）的值.解析：sin（+）=-sin,又=,sin=0，可知是第一、二象限的角.若终边在第一象限，则cos=,tan（-）=若终边在第二象限，则cos=-,tan（-）=.综上知，当为第一象限时，tan=-;当为第二象限时，tan=.【例6】已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，求sin（+）sin（-）tan2（2-）tan（-a）cos（-）cos（+）的值.解析：5x2-7x-6=0的两根为x=2或x=,sin=，cos=.tan=.原式=tan=.【例7】 已知cos(-)=,求cos(+)-sin2(-)的值.解析:cos(+)=cos-(-)=-cos(-)=-,sin2(-)=sin-(-)1-cos2(-)=1-()2=.sin(+)-sin2(-)=-=.【例8】若f(sinx)=cos17x,求f()的值.解析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.f()=f(sin)=cos=cos(2+)=cos=cos(-)=-cos=.【例9】 若sin(180+)+cos(90+)=-a，则cos(270-)+2sin(360-)的值是（ ）A. B. C. D.解析：sin(180+)+cos(90+)-sin-sin=-a,sin.原式=cos(180