高中数学 2_4 第1课时 向量的数量积导学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2.4向量的数量积第1课时向量的数量积学习目标重点难点1能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念2能说出平面向量的数量积的含义及几何意义3能记住平面向量的数量积与投影的关系4会运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.重点：平面向量数量积的含义及其几何意义难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题.1向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)记作ab，即ab|a|b|cos .规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角其范围是0180，当0时，a与b同向，ab|a|b|；当180时，a与b反向，ab|a|b|；当90时，称向量a与b垂直，记作ab.预习交流1(1)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于_(2)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则ab_.(3)已知|a|5，|b|4，ab10，则a与b的夹角_.提示：(1)|2ab|2.(2)ab|a|b|cos 54cos 12010.(3)由公式得cos ，所以135.2向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：aa可简写为a2，所以aaa2|a|2或|a|；abab0；a与b的夹角为，则cos ；|ab|a|b|.(2)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数.abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.预习交流2对于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立3向量数量积的几何意义(1)向量b在a方向上的投影：设a，b是两个非零向量，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，它是数量当为锐角时，投影为正值当为钝角时，投影为负值；当90时，投影为0.(2)数量积ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积预习交流3下列说法正确的是_ab0a0或b0；aba在b上的投影为|a|；abab(ab)2；acbcab.提示：一、平面向量的数量积及几何意义已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120.(1)求ab；(2)求a在b上的投影思路分析：已知向量a，b的模及其夹角，求ab及a在b上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可解：(1)|a|5，|b|4，a与b的夹角120，ab|a|b|cos 54cos 1205410.(2)由数量积的几何意义可知，a在b上的投影为|a|cos 5cos 1205.1已知|a|3，|b|5，且其夹角45，则向量a在向量b上的投影为_答案：解析：向量a在向量b上的投影为|a|cos ，应用公式时要分清|a|与|b|，不能套错公式，由已知|a|3，|b|5，cos cos 45，则向量a在向量b上的投影为|a|cos 3.2已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为_|ab|a|b|ab；a，b反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|.答案：3解析：ab|a|b|cos ，由|ab|a|b|及a，b为非零向量可得|cos |1，0或.ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题若a，b反向，则a，b的夹角为，ab|a|b|cos |a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题当ab时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，故有ab，因此命题是真命题当|a|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|，反过来由|ac|bc|也推不出|a|b|，故命题是假命题1数量积的符号同夹角的关系：(1)若ab0为锐角或零角；(2)若ab0或a与b至少有一个为0；(3)若ab0为钝角或平角2平面向量数量积的求法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.二、平面向量数量积的运算已知|a|4，|b|5，且a与b夹角为60，求值：(1)a2b2；(2)(2a3b)(3a2b)思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解解：(1)a2b2|a|2|b|242529；(2)(2a3b)(3a2b)6a25ab6b26|a|25|a|b|cos 606|b|26425456524.1已知正ABC的边长为2，设a，b，c，求abbcca.解：如图，a与b，b与c，a与c夹角均为120，原式|a|b|cos 120|b|c|cos 120|a|c|cos 1202236.2已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)解：(a2b)(a3b)aaab6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 6064272.1利用定义求向量的数量积时，要注意a与b的夹角大小若|a|b|是一个定值k，则当这两个向量的夹角从0变化到180时，两向量的数量积从k减到k，其图象是从0到的半个周期内的余弦函数图象2求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积三、求向量的夹角问题设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角思路分析：n和m是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量a，b均有向量n和m线性表示，待求向量a，b的夹角，求解时可先利用|a|2mn|，|b|2n3m|求模，再利用ab(2mn)(2n3m)求数量积，最后代入cos 求.解：|m|1，|n|1，由夹角为60，得mn，则有|a|2mn|，|b|2n3m|.ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2.cos .又0，180，a，b夹角为120.1向量m和n满足|m|1，|n|，且m(mn)，求m与n的夹角解：|m|1，|n|.又m(mn)，m(mn)m2mn0.设m与n的夹角为，则cos .又0，180，45.2已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角解：根据|a|b|，有|a|2|b|2.又由|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab|a|2.|ab|2|a|22ab|b|23|a|2.|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos .30.1求向量a，b夹角的流程图2由于|a|，|b|及ab都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及ab的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn_.答案：12解析：mn|m|n|cos 13546cos 13512.2已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为_答案：2解析：a在b方向的投影为|a|cos ，ab|b|a|cos 32.3已知a与b是相反向量，且|a|2，则ab_.答案：4解析：a与b互为相反向量，|a|b|且两向量夹角为180.ab22cos 1804.4已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_答案：解析：cos ，又0，.5已知|a|3，|b|6，当(1)ab，(2)ab，(3)a与b的夹角是60时，分别求ab.解：(1)当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118；若a与b反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1