高中数学 第2章 平面向量 2_5 向量的应用自主训练 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用自主训练 苏教版必修4我夯基我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则ABC的形状是( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形思路解析：A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),=（1，1），=（-4，2），=（-3，3）.=1（-3）+13=0,ABAC,即A=90.ABC为直角三角形.答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰RtOAB,B=90,则向量的坐标为_.思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解.设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知故B(1,3)或B(3,-1).=(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F1(3,4),F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：设物体在力F作用下位移为S,则所做的功为W=FS.解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）,(1)W1= F1=（3，4）（-13，-15）=-99(焦耳).W2=F2=（6，-5）（-13，-15）=-3(焦耳).(2)W=F=（F1+F2）=（3，4）+（6，-5）（-13，-15）=（9，-1）（-13，-15）=-102(焦耳).4.如图2-5-8，在ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),求A、B、C、G的坐标.图2-5-8思路分析：根据D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,得=.从而求出A点坐标,B、C、G点的坐标求法与此类似.解：设A（x1,y1),由已知得EF平行且等于AD,=.(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).A(0,4).同理,可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),.G(2,).5.设a、b、c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0,求证:以a、b、c的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量a、b、c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如图2-5-9,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=+=a+b+c=0.图2-5-9B与D重合,故向量a、b、c能构成一个三角形.(2)设向量a、b、c能构成一个ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即+=0.a=-,b=-,c=-,a、b、c有下列四种关系之一即可：a+b-c=0,a+b+c=0,a-b-c=0,a-b+c=0.6.如图2-5-10所示，ABC三边长分别为a、b、c,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径,试判断P、Q在什么位置时,有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积ab|a|b|求解.解：+=,+=-,=（-）（-）=-2+-=-r2+（-）=+-r2=cbcosBAC+-r2.r、a、b、c、BAC均为定值,故当且仅当有最大值时，有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0，有=ra.当,且与同向时,有最大值：bccosBAC+ar-r2.我综合我发展7.在四边形ABCD中,=0,且=,则四边形ABCD是( )A.梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形思路解析：由=0得ABBC,又=,AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C8.如图2-5-11,已知A、B、C是不共线的三点,O是ABC内的一点,若+=0,求证：O是ABC的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得|=2|,即O为ABC的重心.解：由于+=0,=-(+),即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则=,AE是ABC的中线,且|=2|.故O是ABC的重心.9.在ABC内求一点P,使的值最小.思路分析：根据已知条件,可设=a,=b,再把表示成关于向量=x的函数,进而求出该函数的最小值.解：如图2-5-12,设=a,=b,=x，图2-5-12则=x-a,=x-b,=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2+a2=3x-(a+b)2+a2+b2-(a+b)2.根据向量运算的意义知,当x=(a+b)时,有最小值.设M为AB的中点,易知a+b=2.当x=(a+b)时,=,也即P为ABC的重心时, 的值最小，为a2+b2-(a+b)2,即a2+b2-ab.10.如图2-5-13(1),有两条相交成60的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3 km的A处,乙位于离O点 1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?如图2-5-13(2),在三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosB. （1） （2）图2-5-13思路分析：以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在a、b两点,则|=3,|=1.|2=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|= km,即起初两人相距 km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,则|=4t,|=4t.又甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.当0t时,|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7；当t时,|2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7. 综上,|2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,t0，+),当t=时,即在第15分钟末时,PQ最短,两人最近,最近距离为2 km.11.不顾国际社会的强烈反对,美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10 n mk/h.令v=1e1+2e2,基底e1、e2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30, e1方向正东, e2方向为北偏东60,试求1、2的值.思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量v.解：建立如图2-5-14所示的直角坐标系,则e1=(1,0),e2=(,),v=(5n,n).e1、e2不共线,图2-5-14v=1 e1+2