中考数学知识点聚焦第二十章圆

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。第二十章圆考情分析高频考点考查频率所占分值1.垂径定理1220分2.圆心角、弧、弦之间的关系3.圆周角定理4.圆内接四边形5.三角形的外接圆与内切圆6.切线的判定及性质7.切线长及切线长定理8.正多边形的有关计算9.弧长及扇形面积公式10.圆锥的侧面积及全面积知能图谱第47讲圆的有关概念及性质知识能力解读知能解读（一）圆的概念1概念（1）在描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆。其固定的端点叫作圆心，线段叫作半径。（2）集合性定义：圆心为、半径为的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合。2圆的表示方法以点为圆心的圆，记作，读作“圆”。3圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。记忆口诀：圆有两要素，半径和圆心；半径定大小，圆心定位置。知能解读（二）圆的有关概念名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的 线段叫作弦，如右图 中“弦”直径是圆中最长的弦不一定是直径直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部 分叫作圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的 两个端点把圆分成两 条弧，每一条弧都叫 作半圆；大于半圆的 弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中 的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤长度相等的孤不一定是等孤知能解读（三）圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。知能解读（四）垂直定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，是的直径，是的弦，交于点，若，则注意（1）垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1-47-2，是非直径的弦，是直径，若则。注意垂径定理的推论中，被平分的弦不能是直径，如果弦是直径，两直径互相平分，结论就不成立，如图所示，直径平分直径，但不垂直于。（1）垂直定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据。（2）一条直线如果具有：经过圆心，垂直于弦，平分弦（被平分的弦不是直径），平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条，那么必然具备其余三条。知能解读（五）圆心角的定义及与弧、弦之间的关系1圆心角的定义顶点在圆心的角叫作圆心角。2.弧、弦、圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如图所示，在中，若，则有，。（2）推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。（3）推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。以上三个关系可总结为：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。注意圆心角的度数等于它所对弧的度数，不能说圆心角等于它所对的弧。知能解读（六）圆周角的定义及性质1.圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。圆周角具备两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内部的线段都是圆的弦。2.圆周角定理及推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（3）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。点拨（1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们一般不相等。（2）推论2给出了圆中一种常见的作辅助线的方法：若有直径，通常作直径所对的圆周角；反过来，若有的圆周角，通常作直径。知能解读（七）圆内接多边形（1）圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。拓展：对角互补的四边形，其四个顶点在同一个圆上。方法技巧归纳方法技巧（一）运用垂径定理进行解题的方法在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：。根据此公式，在，三个量中，知道任意两个量就可以求出第三个量。 方法技巧（二）利用弧、弦、圆心角之间的关系解题在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对的两条弧、两条弦中只要有一组量相等，对应的另外两组量也分别相等。点拨在圆中证明弧相等时往往要证明弧所对的圆心角或弦相等，在证明圆心角或弦相等时常由相应的半径、弦的一半、圆心与弦中点的连线段构造直角三角形，通过证明三角形全等来解决。方法技巧（三）利用圆周角的性质进行解题的方法在求圆周角或圆心角的度数时，通常要找出或构造出同弧（或等弧）所对的圆周角或圆心角。若题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，利用垂径定理或直角三角形求解。注意在圆内，同弧所对的圆周角相等是一个隐含条件，注意其在证明过程中的应用。方法技巧（四）利用圆内接四边形的性质求角的度数利用“圆内接四边形的对角互补”可以求一些不易求得的圆周角的度数。方法技巧（五）圆中两条线段长度之和最小的问题在圆中求两条线段长度之和最小的问题，通常通过转化，运用垂径定理和两点之间线段最短来解决，考查灵活运用知识的能力。易混易错辨析易混易错知识1.直径与弦的关系。直径是弦，但弦不一定是直径，只是过圆心的弦才是直径，直径是最长的弦。2.在同一个圆中，一条弦所对的圆周角有两种情况，但解题时常因考虑不周漏解。3.应用垂径定理的推论时，对条件的理解不透致错。在应用垂径定理的推论时，平分弦作条件时，必须指出被平分的弦是非直径的弦，否则命题不一定成立。易混易错（一）求平行弦之间的距离出现错误易混易错（二）求一条弦所对的圆周角易漏解中考试题研究中考命题规律垂径定理，圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系等内容是中考的必考内容，常在圆的半径、弦长的计算中运用。圆周角的知识常与其他的知识综合在一起考查，题型有选择题、填空题及简单的解答题或证明题，属中、低档题。中考试题（一）利用圆的相关概念求解中考试题（二）利用圆的相关概念推理证明第48讲 点和圆、直线和圆的位置关系知识能力解读知能解读（一）点和圆的位置关系点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系图示文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点在圆内点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点在圆上点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外点在圆外点拨（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。知能解读（二）确定圆的条件 条件 类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作出无数多个经过不在同一条直线上的三点，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆注意（1）“不在同一条直线上”这个条件不可忽略。（2）“确定”一词理解为“有且只有”，说明这样的圆是存在的，并且是唯一的。知能解读（三）三角形的外接圆与外心（1）三角形外接圆的相关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心。（2）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。拓展锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，即三角形的外心随三角形的形状变化其位置也发生变化，如图所示。（1）“接”是说明三角形的顶点和圆的关系，而“内”“外”是相对的概念，以一个图为准，说明另一个图在它里面或外面。（2）任何一个三角形的外心均是其两边中垂线的交点，只要三角形确定，其外心和外接圆就唯一确定。知能解读（四）直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离图形公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称交点割线切点切线点拨（1）设的半径为，圆心到直线的距离为则有：直线和相交；直线和相切；直线和相离。（2）判断直线和圆的位置关系有两种方法：一是根据定义即可公共点个数判定；二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定。知能解读（五）切线的判定与性质（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。点拨切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。（2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。拓展推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可简单地理解为“二推一”。知能解读（六）切线长（1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。点拨切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。知能解读（七）三角形的内切圆（1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。（2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。点拨（1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径；（2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等；（3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。方法技巧归纳方法技巧（一）点和圆的位置关系的判别方法点和圆的位置关系，主要依据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断：点与圆心的距离大于半径，点在圆外；点与圆心的距离感等于半径，点在圆上；点与圆心的距离小于半径，点在圆内，反之亦然。点拨确定点与圆的位置关系的方法是计算点到圆心的距离，与半径比较大小，若知道点与圆的位置关系，可判断圆的半径与点到圆心的距离的大小关系。方法技巧（二）三角形外接圆的应用方法三角形的外接圆的有关性质的应用主要有两个方面：一是求外接圆的半径；二是利用外接圆性质解决某些实际问题。点拨直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆。方法技巧（三）直线和圆的位置关系的判别方法直线和圆的位置关系要依据圆心到直线的距离和半径的大小关系进行判断，有相离、相切、相交三种情形。点拨根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系。当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交。方法技巧（四）切线的判定方法圆的切线的判定方法通常分为两种情况：若题目给出直线和圆，但没有给出公共点时，需“作垂直，证半径”，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定；若题目给出直线和圆的公共点时，利用“连半径，证垂直”的方法进行判定。方法技巧（五）切线性质的应用方法当题目中给出圆的切线时，通常要作出过切点的半径，构造直角三角形解决问题。点拨利用切线的性质构造直角三角形是解决此类问题常用的方法。方法技巧（六）切线长定理的应用切线长定理包括线段相等的角相等两个结论，利用该定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及线段的垂直关系等。图是切线长定理的一个基本图形，可以得出很多结论，如;等。注意本题中的两个常识性结论请牢记，以后可以直接用于填空题和选择题的计算中：一是三条切线（本题中的）围成的三角形的周长等于切线长（或）的2倍，二是方法技巧（七）三角形内切圆的应用三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等。解决内切圆的问题，还应利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质，构造直角三角形解决问题。点拨本题不仅应用了三角形内心的性质，而且应用了切线的性质，综合运用两性质是解决问题的关键。易混易错辨析易混易错知识1.三角形的外心与内心混淆。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等，而内心是三角形三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。2.直线和圆的位置关系与线段和圆的位置关系混淆。易混易错（一）证明某直线是圆的切线时，无论直线是否经过圆上一点，都连接圆心与直线上的一点而致错易混易错（二）混淆线段和圆有一个公共点与直线和圆有一个公共点致错中考试题研究中考命题规律本讲的内容是中考的必考内容，主要考查直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆及切线长定理等内容，题型有选择题、填空题和证明题、多为中、低档题。中考试题（一）与切线有关的求解问题中考试题（二）与切线有关的推理论证问题中考试题（三）创新问题的求解点拨本题是阅读理解题，解答阅读理解题的关键是读懂题意，根据题中提供的方法与信息进行解题。第49讲与圆有关的计算知能解答（一）正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心（如图1-49-1所示）。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径（如图所示）。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角（1-49-1所示）。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距（如图1-49-1所示）。知能解读（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积点拨（1）由正边形的内角与外角互补，正边形的中心角等于外角，可得正边形的内角与中心角互补。（2）正六边形的边长等于其外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，正方形的边长等于其外接圆半径的倍。知能解读（三）弧长的计算（1）弧长公式：（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为注意（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角所对弧长时，不要错写成（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。知能解读（四）扇形面积的计算（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。（3）公式推导：在半径为的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是即其中为扇形的弧长，为半径。点拨（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位。知能獬读（五）圆锥的侧面积与全面积（1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。（3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积，其计算公式为圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。方法技巧归纳方法技巧（一）正多边形的有关计算的技巧在解决正多边形的有关计算时，通过作正边形的半径和连接圆心与边的中点的线段，把正边形分成个直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算。方法技巧（二）利用弧长公式进行计算的方法在弧长公式中，已知中的任意两个量，