九年级数学下册 2 二次函数课件 （新版）北师大版

小结与复习 第二章 二次函数 要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 一、二次函数的定义 要点梳理 1一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)， 那么y叫做x的二次函数特别地，当a0，bc0时， yax2是二次函数的特殊形式 2二次函数的三种基本形式 (1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)； (2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象 与x轴交点的横坐标 二、二次函数的图像和性质 函数 二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0) a0 图象 开口 抛物线开口向上，并向上 无限延伸 抛物线开口向下， 并向下无限延伸 对称轴、 顶点 对称轴是x ，顶点坐标是 增 减 性 在对称轴的左侧，即当 x 时，y随x的增大而 减小；在对称轴的右侧， 即当x 时，y随x的增 大而增大，简记为“左减右 增” 在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的增大而增大；在对 称轴的右侧，即当x 时 ，y随x的增大而减小，简记为 “左增右减” 最 值 抛物线有最低点，当 x 时， y有最小值， y最小值 抛物线有最高点，当 x 时，y有最大值， y最大值 三、二次函数yax2bxc的图象特征与系数a，b，c的关系 项目字母 字母的符号图象的特征 aa0开口向上 a0开口向下 bb0对称轴为y轴 ab0(a与b同号)对称轴在y轴左侧 ab0(a与b异号)对称轴在y轴右侧 c c0经过原点 c0与y轴正半轴相交 c0与y轴负半轴相交 b24ac b24ac0 与x轴有唯一交点(顶点) b24ac0 与x轴有两个交点 b24ac0 与x轴没有交点 四、二次函数图象的平移 任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移 得到，具体平移方法如下： 五、二次函数表达式的求法 1一般式：yax2bxc (a 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2 bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值 2顶点式：ya(xh)2k(a0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶 点式ya(xh)2k(a0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式 3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设 交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他 已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化 为一般式 六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有 两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的 图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2bxc=0的根. 二次函数yax2bx c的图象和x轴的交点 一元二次方程 ax2bxc=0的根 一元二次方程 ax2bxc=0根的判别式 （b2-4ac） 有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac 0 有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0 没有交点没有实数根b2-4ac y2 【解析】由图象看出，抛物线开口向下 ，对称轴是直线x1，当x1时，y随x的增 大而增大x11可得2ab0，故 正确；由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得 4a2bc0，故正确； 由图象上横坐标为x1的点在第四象限得出abc 0，由图象上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0， 即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确故选D. 【答案】 D 方法总结 1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是 y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴 在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2.当x1时，函数yabc.当图象上横坐标 x1的点在x轴上方时，abc0；当图象上横坐标 x1的点在x轴上时，abc0；当图象上横坐标x1 的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图象上横坐 标x1的点判断abc的符号. 针对训练 3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增 大而减小，则实数b的取值范围是（） Ab1 Bb1 Cb1 Db1 解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴 右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的 值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ， 即b1，故选择D . D 考点四 抛物线的几何变换 例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再 向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是( ) Ay(x4)26 By(x4)22 Cy(x2)22 Dy(x1)23 【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达 式为y(x31)242，即y (x4)22.故选B. 方法总结 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变 量，上加下减常数项. 针对训练 3.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则必须（ ） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位 B 考点五 二次函数表达式的确定 例5:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式. 待定系数法 解：设所求的二次函数为yax2+bxc, 由题意得： 解得, a=2,b=3,c=5. 所求的二次函数表达式为y2x23x5. 方法总结 1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式； 2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设 顶点式求表达式，最后化为一般式； 3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2 ，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式. 针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相 同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足 此条件的抛物线的表达式. 解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1. 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,5). 所以其解析式为: (1) y=(x1)2+5 (2) y=(x1)25 (3) y=(x1)2+5 (4) y=(x1)25 例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程 x2+mx=7的解为（ ） Ax1=0，x2=6Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7Dx1=1，x2=7 【解答】二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， =3，解得m=6， 关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0， 即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7 故选D 考点六 二次函数与一元二次方程 例7 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用 每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用 . 解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0x6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为910