中考数学一轮专题复习 第10讲 一次函数精讲精练 浙教版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争一次函数考点一、一次函数的图象与性质 【例1】已知关于x的一次函数ykx4k2(k0)若其图象经过原点，则k_；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是_方法总结 一次函数的k值决定直线的方向，如果k0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大；如果k0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b0，则与y轴的正半轴相交；如果b0，则与y轴交于负半轴；当b0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点. 举一反三 已知一次函数ymxn2的图象如图所示，则m，n的取值范围是()Am0，n2 Bm0，n2 Cm0，n2 Dm0，n2考点二、确定一次函数的解析式 【例2】已知，A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，SAOP=6（1）求COP的面积；（2）求点A的坐标和m的值；（3）若SBOP=SDOP，求直线BD的函数解析式方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：设出函数关系式；把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式举一反三 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=kx的图象交点为C（3，4）求：（1）求k值与一次函数y=k1x+b的解析式；（2）若点D在第二象限，DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；（3）在y轴上求一点P使POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系 【例3】如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是 方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况举一反三 如图，经过点B（2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（1，2），则不等式4x+2kx+b0的解集为 考点四、一次函数的应用【例4】A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度方法总结 用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题举一反三 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A、B两地直接的距离；（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围考点五、一次函数与三角形、四边形结合 【例5】 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点A，B的坐标分别是A（0，4），B（，0），作点A关于直线y=kx（k0）的对称点P，POB为等腰三角形，则点P的坐标为 方法总结 对于考查一次函数与三角形、四边形结合问题，主要会利用到四边形的性质，三角形的性质，勾股定理以及关于直线对称的性质来解题，同时也要重点注意到题型中是否要用到分类讨论思想与数形结合方法举一反三 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由1、 选择题1已知（-1，y1），（-0.5，y2），（1.7，y3）是直线y=-9x+b（b为常数）上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy3y1y22(,1)d-(,0)c(0,)b在平面直角坐标系中，经过二、三、四象限的直线l过点（-3，-2）.点(-2，a），(0，b)，(c，1)，(d，-1)都在直线l上，则下列判断正确的是 （ ）Aa= -3 Bb -2 Cc -3 Dd= -23.一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4甲、乙两车分别从M，N两地沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后即停止行驶已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程S（km），乙行驶的时间为t（h），S与t的函数关系如图所示有下列说法：M、N两地之间公路路程是300km，两车相遇时甲车恰好行驶3小时；甲车速度是80km/h，乙车比甲车提前1.5个小时出发；当t=5（h）时，甲车抵达N地，此时乙车离M地还有20km的路程；a=，b=280，图中P，Q所在直线与横轴的交点恰（，0）其中正确的是（）A B C D5（2016上城区一模）甲、乙两辆遥控车沿直线AC作同方向的匀速运动，甲、乙同时分别从A、B出发，沿轨道到达C处，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t分钟后甲、乙两车与B处距离分别为S1，S2，函数关系如图所示，当两车的距离小于10米时，信号会产生相互干扰，那么t是下列哪个值时两车的信号会相互干扰（）AB2CD2、 填空题1已知一次函数的图像经过点A（0,2）和点B（2，2）：（1）求出y关于x的函数表达式为 ；（2）当2y4时，x的取值范围是 2函数的图象如图，则方程的解为 ，不等式02的解集为 . 3 无论a取什么实数，点P（，）都在直线l上， Q（m，n）是直线l上的点，则的值为 4在平面直角坐标系中，有三条直线l1，l2，l3，它们的函数解析式分别是y=x，y=x+1，y=x+2在这三条直线上各有一个动点，依次为A，B，C，它们的横坐标分别为a，b，c，则当a，b，c满足条件 时，这三点不能构成ABC3、 解答题1 一次函数(为常数，且).(1)若点在一次函数的图象上,求的值；(2)当时,函数有最大值2,请求出的值.2写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假若为假命题，请举反例；若为真命题，请给予证明（1）一次函数y=kx+b，若k0，b0，则它的图象不经过第二象限；（2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等3如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点B（0，3），与x轴正半轴交于点A，cosBAO=（1）求一次函数的解析式；（2）OC是AOB的角平分线，交AB于C，反比例函数y=的图象经过点C，求m的值4如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=2x4上运动（1）若点B的坐标是（1，2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y=2x4的交点在第一象限，求m的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标5某商店采购甲、乙两种型号的电风扇，共花费15000元，所购进甲型电风扇的数量不少于乙型数量的2倍，但不超过乙型数量的3倍. 现已知甲型每台进价150元，乙型每台进价300元，并且销售甲型每台获得利润30元，销售乙型每台获得利润75元. 设商店购进乙型电风扇x台.（1）商店共有多少种采购电风扇方案？（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的电风扇全部售出，写出此商店销售这两种电风扇所获得的总利润y（元）与购进乙型电风扇的台数x（台）之间的函数关系式；（3）商店怎样的采购方案所获得的利润最大？求出此时利润最大值.6方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇；请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20y30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？7.已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab0）在同一平面直角坐标系中（1）若函数y1的图象过点（1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值（2）若函数y2的图象经过y1的顶点求证：2a+b=0；当1x时，比较y1，y2的大小1直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A（4，0） B（1，0） C（0，2） D（2，0）2如图，直线y=x+m与y=nx+4n（n0）的交点的横坐标为2，则关于x的不等式x+mnx+4n0的整数解为（）A1 B5 C4 D33已知两直线y1=kx+k1、y2=（k+1）x+k（k为正整数），设这两条直线与x轴所围成的三角形的面积为Sk，则S1+S2+S3+S2013的值是（）ABCD4一次函数y=kx+b，当1x4时，3y6，则的值是 5直线y=k1x+b1（k10）与y=k2x+b2（k20）相交于点（2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1b2等于 6已知直线y=x+（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+S2012= 7如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90至线段PD，过点D作直线ABx轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为 8如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ACx轴于点M，交直线y=x于点N若点P是线段ON上的一个动点，APB=30，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是9.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 10.已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RtABC，BAC=90且点P（1，a）为坐标系中的一个动点（1）求三角形ABC的面积SABC；（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得ABC和ABP的面积相等，求实数a的值11.如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=x+b也随之移动，设移动时间为t秒（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上12.2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？13某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图所示（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 元，小张应得的工资总额是 元，此时，小李种植水果 亩，小李应得的报酬是 元；（2）当10n30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10m30时，求w与m之间的函数关系式答案 【例1】解析：一次函数图象经过原点，4k20，k；若y随x的增大而减小，则k0.答案：k0举一反三 D 【例2】解：（1）作PEy轴于E，P的横坐标是2，则PE=2SCOP=OCPE=22=2；（2）SAOC=SAOPSCOP=62=4，SAOC=OAOC=4，即OA2=4，OA=4，A的坐标是（4，0）设直线AP的解析式是y=kx+b，则，解得：则直线的解析式是y=x+2当x=2时，y=3，即m=3；（3）设直线BD的解析式为y=ax+c（a0），P（2，3），2a+c=3，D（0，c），B（，0），SBOP=SDOP，OD2=OB3，即c=，解得a=，c=6，BD的解析式是：y=x+6举一反三 解：（1）正比例函数y=kx的图象经过点C（3，4），4=3k，k=，一次函数y=k1x+b的图象经过A（3，0），C（3，4），一次函数为y=（2）当DAAB时，作DMx轴垂足为M，DAM+BAO=90，BAO+ABO=90，DAM=ABO，DA=AB，DMA=AOB，DAMABO，DM=AO=3，AM=BO=2，D（5，3），当DBAB时，作DNy轴垂足为N，同理得DBNBAODN=BO=2，BN=AO=3，D（2，5）D点坐标为（5，3）或（2，5）（3）当OP=OC时，OC=5，则P的坐标为（0，5）或（0，5），当CP=CO时，则P的坐标是（0，8），当PO=PC时，作CKy轴垂足为K，设P的坐标为，（0，t）在RtPCK中，PC=t，PK=4t，KC=3，（4t）2+32=t2解得此时P的坐标是综上可知P的坐标为（0，5）或（0，5）或（0，8）或 【例3】 举一反三 解：经过点B（2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（1，2），直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（1，2），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（2，0），又当x1时，4x+2kx+b，当x2时，kx+b0，不等式4x+2kx+b0的解集为2x1故答案为：2x1【例4】解：（1）设甲车返回过程中y与x之间的函数解析式y=kx+b，图象过（5，450），（10，0）两点，解得，y=90x+900函数的定义域为5x10；（2）当x=6时，y=906+900=360，（千米/小时）举一反三 解：（1）x=0时，甲距离B地30千米，所以，A、B两地的距离为30千米；（2）由图可知，甲的速度：302=15千米/时，乙的速度：301=30千米/时，30（15+30）=，30=20千米，所以，点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，若是相遇前，则15x+30x=303，解得x=，若是相遇后，则15x+30x=30+3，解得x=，若是到达B地前，则15x30（x1）=3，解得x=，所以，当x或x2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系 【例4】 解：矩形AOBC的顶点A，B的坐标分别是A（0，4），B（，0），OA=4，OB=4，点P关于直线y=kx（k0）与点A对称，OP=OA=4，POB为等腰三角形BP=BO，OP=PB，OB=OP（不成立，因为OA=4，OB=4）当BP=BO=4时，如图，作PHOB，BGOP垂足分别为H、G，OG=PG=OP=2BG=2OPBG=OBPH即42=4PHPH=OH=，点P坐标为（，），（，），当OP=PB=4时，如图，作PFOB垂足为FOF=FB=OB=2PF=2点P坐标为（2，2），（2，2）；综上所知点P坐标为（，），（，），（2，2）或（2，2）故答案为：（，），（，），（2，2）或（2，2）举一反三 解：（1）直线，当x=0时，y=6，当y=0时，x=12，B（12，0），C（0，6），解方程组：得：，A（6，3），答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）（2）解：设D（x，x），COD的面积为12，6x=12，解得：x=4，D（4，2），设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：，解得：，y=x+6，答：直线CD的函数表达式是y=x+6（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（3，3）或一、选择题1 A 2 C 3.C4 D解：当t=0时，S=300，可知M、N两地之间公路路程是300km；当t=3时，S=0，可知两车相遇时乙车恰好行驶3小时，由乙车比甲车提前出发可知不正确；乙车的速度为（300210）1.5=60km/h，甲车的速度为210（31.5）60=80km/h由图象转折点在1.5小时处，故乙车比甲车提前1.5个小时出发，正确；乙车到M地的时间为30060=5（h），当t=5（h）时，乙车抵达M地，不正确；乙到达M地时，甲车行驶的路程b=80（51.5）=280，甲车到达N地的时间a=30080+1.5=设P，Q所在直线解析式为S=kt+b，将点P（5，280）、Q（，300）代入，得，解得：故P，Q所在直线解析式为S=80t120，令S=0，则有80t120=0，解得t=，故图中P，Q所在直线与横轴的交点恰（，0），即成立5D解：乙的速度v2=1203=40（米/分），甲的速度v甲=401.5=60米/分所以a=1分设函数解析式为d1=kt+b，0t1时，把（0，60）和（1，0）代入得d1=60t+60，1t3时，把（1，0）和（3，120）代入得d1=60t60；d2=40t，当0t1时，d2+d110，即60t+60+40t10，解得t2.5，因为0t1，所以当0t1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1t3时，d2d110，即40t（60t60）10，所以t2.5，当2.5t3时，两遥控车的信号会产生相互干扰故选D4、 填空题1 ,1x2 2 x=3， 0x0时,y随x的增大而增大, 则当x=2时,y有最大值2. 代入函数关系式得2=2a-a+1, a=1 a0时,y随x的增大而减小, 则当x=-1时,y有最大值2. 代入函数关系式得 2=-a-a+1, 或者a=1 2解：（1）逆命题：一次函数y=kx+b，若它的图象不经过第二象限，则k0，b0，是假命题，k0，b=0也可以；（2）逆命题，一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形；已知：如图，D为BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求证：三角形ABC为等腰三角形；证明：如图，DE=DF，BD=CD，DEAB，DFACRtBDERtCDF（HL），B=C，AB=AC（等角对等边）ABC为等腰三角形3解：（1）B（0，3），OB=3，AOB=90，cosBAO=，sinBAO=AB=5，OA=4，OA=4，即A（4，0），将A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：，解得：，则一次函数解析式为y=x+3；（2）过C作CDOA，设OD=a，OC平分AOB，AOB=90，COD=AOB=45，CDOA，CDO为等腰直角三角形，CD=OD=a，即C（a，a），C点在直线AB上，将C坐标代入直线AB得：a+3=a，解得：a=，C（，），将C坐标代入反比例解析式得：m=4解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b点A的坐标为（1，0），点B的坐标是（1，2），解得，直线AB的解析式为y=x1，把直线AB向上平移m个单位后得y=x+m1由，解得，即交点为（，）由题意，得，解得m3；（2）AB最短时有ABCD，设此时直线AB的解析式为y=x+n，将A（1，0）代入，得0=（1）+n，解得n=即直线AB的解析式为y=x由，解得，所以B点坐标为（，）5解：（1）购进乙型电风扇x台，购进甲型电风扇台数是1002x由题意得：2x1002x3x ，解得20x25 购电风扇方案有6种： （题目没要求写具体的6种，写了更好。没写具体不扣分，需答出6种）（2）， （20x25）（3）y随x增大而增大，当x25时利润最大，（元）6解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，把（1.5，0），（）代入得：解得：，直线BC的解析式为：y=40t60；设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1，把（），（4，0）代入得：，解得：，直线CD的函数解析式为：y=20t+80（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；，解得：，甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，OA的函数解析式为：y=20t（0t1），所以点A的纵坐标为20，当20y30时，即2040t6030，或2020t+8030，解得：或（3）根据题意得：S甲=60t60（）S乙=20t（0t4），所画图象如图2所示：（4）当t=时，丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：S丙=40t+80（0t2），如图3，S丙=40t+80与S甲=60t60的图象交点的横坐标为，所以丙出发h与甲相遇7.解：（1）由题意得：，解得：，故a=1，b=1（2）证明：y1=ax2+bx=a，函数y1的顶点为（，），函数y2的图象经过y1的顶点，=a（）+b，即b=，ab0，b=2a，2a+b=0b=2a，y1=ax22ax=ax（x2），y2=ax2a，y1y2=a（x2）（x1）1x，x20，x10，（x2）（x1）0当a0时，a（x2）（x1）0，y1y2；当a0时，a（x1）（x1）0，y1y21D2D3 D解：方程组的解为，两直线的交点是（1，1），直线y1=kx+k1与x轴的交点为（，0），y2=（k+1）x+k与x轴的交点为（，0），Sk=|1|=|，S1+S2+S3+S2013=（1+）=（1）=42或7解：当k0时，此函数是增函数，当1x4时，3y6，当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，解得，=2；当k0时，此函数是减函数，当1x4时，3y6，当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，解得，=7546解：令x=0，则y=，令y=0，则x+=0，解得x=，所以，Sn=（），所以，S1+S2+S3+S2012=（+）=（）=故答案为：7（，）解：过P作MNy轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DHy轴，交y轴于H，CMP=DNP=CPD=90，MCP+CPM=90，MPC+DPN=90，MCP=DPN，P（1，1），OM=BN=1，PM=1，在MCP和NPD中MCPNPD（AAS），DN=PM，PN=CM，BD=2AD，设AD=a，BD=2a，P（1，1），DN=2a1，则2a1=1，a=1，即BD=2直线y=x，AB=OB=3，在RtDNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在RtMCP中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=，即直线CD的解析式是y=x+3，即方程组得：，即Q的坐标是（，），故答案为：（，）8解：由题意可知，OM=，点N在直线y=x上，ACx轴于点M，则OMN为等腰直角三角形，ON=OM=如答图所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0BnAOAB0，ANABn，OAC=B0ABn，又AB0=AOtan30，ABn=ANtan30，AB0：AO=ABn：AN=tan30（此处也可用30角的Rt三边长的关系来求得），AB0BnAON，且相似比为tan30，B0Bn=ONtan30=现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）如答图所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0BiAOAB0，APABi，OAP=B0ABi，又AB0=AOtan30，ABi=APtan30，AB0：AO=ABi：AP，AB0BiAOP，AB0Bi=AOP又AB0BnAON，AB0Bn=AOP，AB0Bi=AB0Bn，点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为故答案为：9.24解：直线y=kx3k+4=k（x3）+4，k（x3）=y4，k有无数个值，x3=0，y4=0，解得x=3，y=4，直线必过点D（3，4），最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3，4），OD=5，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），圆的半径为13，OB=13，BD=12，BC的长的最小值为24；10.解：（1）令中x=0，得点B坐标为（0，2）；令y=0，得点A坐标为（3，0）由勾股定理可得，所以SABC=6.5；（2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=2为底，点P到y轴的距离1为高，所以SBOP=1为常数；（3）当点P在第四象限时，因为，SBOP=1，所以，即3a1=，解得a=3，当点P在第一象限时，SABO=3，SAPO=a，SBOP=1，SABP=SBOP+SAOPSABO=，即1+a3=，用类似的方法可解得11.解：（1）直线y=x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b0，t0，b=1+t当t=3时，b=4，故y=x+4（2）当直线y=x+b过点M（3，2）时，2=3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4当直线y=x+b过点N（4，4）时，4=4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4t7（3）如右图，过点M作M