高中数学 第一章 导数及其应用 1_1 变化率与导数（第2课时）课堂探究 新人教a版选修2-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2探究一 求曲线上一点处的切线方程求曲线yf(x)在点P处的切线方程的步骤：(1)求出P点的坐标(x0，f(x0)；(2)求出函数在x0处的变化率f(x0)，从而得到曲线在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(3)利用点斜式写出切线方程【典型例题1】已知曲线yx3上一点P，(1)求点P处切线的斜率；(2)写出点P处的切线方程思路分析：本题考查导数的几何意义根据导数的几何意义知，函数f(x)在点xx0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程解：(1)yx3，y x2，y|x2224.点P处切线的斜率为4.(2)由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为，在点P处的切线方程是y4(x2)，即12x3y160.探究二 求切点的坐标1求切点坐标的一般思路(1)先设切点坐标(x0，y0)(2)求导函数f(x)(3)求切线的斜率f(x0)(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标2切点问题的处理方法(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等【典型例题2】(1)曲线f(x)在点P处的切线方程为2xy30，则点P的坐标为_(2)曲线f(x)2x2x在点P处的切线与直线xy10垂直，则点P的坐标为_思路分析：设出切点的坐标，求出切线斜率，由斜率间的关系及曲线方程求得切点坐标解析：(1)设切点P为(x0，y0)，则kf(x0) .切线方程为2xy30，切线斜率为2.2.x01.f(x0)f(1)1.切点P为(1，1)(2)设切点P为(x0，y0)，则kf(x0) (4x02x1)4x01.在点P处的切线与xy10垂直，4x011.x0.f(x0)f220.切点P为.答案：(1)(1，1)(2)探究三 导数几何意义的综合应用导数几何意义的综合应用，主要是根据函数yf(x)在xx0处的导数即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系求解相关问题【典型例题3】求曲线f(x)x21和g(x)x3x在其交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积解：由f(x)g(x)，得x3x2x10，即(x1)(x21)0，x1.交点为(1,2)f(1) (2x)2，曲线f(x)在(1,2)点处的切线l1的方程为y22(x1)，即y2x.令y0，得x0，即切线与x轴交于(0,0)又g(1) (43x(x)2)4，曲线g(x)在(1,2)点处的切线l2的方程为y24(x1)，即y4x2.令y0，得x，即切线与x轴交于，两条切线与x轴围成的三角形面积为S2.探究四 易错辨析易错点：对导数的几何意义理解不够而导致出错【典型例题4】求过曲线yf(x)x3上的点(1,1)的切线方程错解：yf(1x)f(1)(1x)31(x)33(x)23x，(x)23x3. (x)23x33，即f(1)3.所以所求切线的方程为y13(x1)，即3xy20.错因分析：求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程前者可能会有多个结果，而后者通常只有一个结果例如，如图所示的图象，l1，l2，l3都是过点P的切线，其中l3是在点P处的切线过曲线上一点的切线和在某一点处的切线是两个不同的概念正解：设切线与曲线yf(x)切于点(x0，x03)，则(x)23x0x3x02. 3x02，即f(x0)3x02.故切线方程为yx033x02(xx0)而该切线经过点(1,1)，所以1x033x02(1x0)，解得x01或x0.所以切线方程为y13(x1)或y.即3xy20或3x4y10.反思 (1)求某点处的切线，该点就是切点，因此可直接求出切线斜率(该点处导数的值)，写出切线方程(2)求过某点的切线，要注意该点不一定是切点因此，在解题时先设出切点，再求出切线斜率(该点处导数的值)，根