高考数学一轮复习 第五章 三角函数解三角形 第27课 正弦定理和余弦定理教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第27课 正弦定理和余弦定理最新考纲内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或135.()(4)在ABC中，.()解析(1)正确ABabsin Asin B.(2)错误由cos A0知，A为锐角，但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，BA.(4)正确利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是_钝角三角形由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos C0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(2016全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b_.3由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B_.或由正弦定理，代入可求得sin B，故B或B.5在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_2由题意及余弦定理得cos A，解得c2，所以Sbcsin A42sin 602.利用正、余弦定理解三角形在ABC中，BAC，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长. 【导学号：62172148】解设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训练1(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为_(2)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.(1)30(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos B，cos B，B30.(2)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.判断三角形的形状(1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos Abcos B，则ABC的形状为_(2)(2017镇江期中)在ABC中，若cos A，sin Bsin C2sin A，则ABC的形状为_(1)等腰三角形或直角三角形(2)等边三角形(1)acos Abcos B，由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形(2)sin Bsin C2sin A，bc2a，又cos A，b2c2a2bc，又bc2a，则(bc)2a23bc3a2，a2bc2，(bc)20，即bc，bca，ABC为等边三角形规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2(1)设角A，B，C是ABC的三个内角，则“ABC”是“ABC是钝角三角形”的_条件(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是_三角形. 【导学号：62172148】(1)充分不必要(2)等腰(1)由ABC，AB，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立(2)法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.与三角形面积有关的问题已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3在ABC中，ABabsin Asin B.易错与防范1已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角可能有一解、两解、无解在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解课时分层训练(二十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.由正弦定理可得，所以sin B，再由ba，可得B为锐角，所以cos B.2(2016天津高考改编)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC_.1由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2ab，则ABC的面积为_依题意得cos C，C60，因此ABC的面积等于absin C.4在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是_(填“一解”“二解”“不存在”)不存在bsin c40sin 6020，c20，bsin cc，ABC不存在5(2016全国卷改编)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A_.过A作ADBC于D，设BCa，由已知得AD.B，ADBD，BDAD，DCa，ACa，在ABC中，由正弦定理得，sin BAC.6若acos(A)bsin0，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为_等腰三角形或直角三角形因为acos(A)bsin0，所以acos Abcos B0，所以sin Acos Asin Bcos B0，所以sin 2Asin 2B，所以AB或AB，所以三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形7已知ABC中，AB，BC1，sin Ccos C，则ABC的面积为_. 【导学号：62172149】由sin Ccos C得tan C0，所以C.根据正弦定理可得，即2，所以sin A.因为ABBC，所以AC，所以A，所以B，即三角形为直角三角形，故SABC1.8(2017镇江期中)在ABC中，如果sin Asin Bsin C234，那么tan C_.sin Asin Bsin Cabc，abc234，设a2x，则b3x，c4x，cos C.又c(0，)，sin c，tan C.9(2017盐城模拟)在锐角ABC中，AB2，BC3，ABC的面积为，则AC的长为_SABCABBCsin B23sin B，sin B.又ABC为锐角三角形，故cos B.在ABC中，由余弦定理得AC249223cos B13127.AC.10(2017苏州期中)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若tan A2tan B，a2b2c，则c_.1tan A2tan B，acos B2bcos A，3a23b2c2，又a2b2c，c2c0，即c1，或c0(舍去)二、解答题11(2017南通一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，(abc)(abc)ab.(1)求角C的大小；(2)若c2acos B，b2，求ABC的面积. 【导学号：62172150】解(1)在ABC中，由(abc)(abc)ab，得，即cos C.因为0C，所以C.(2)法一：因为c2acos B，由正弦定理，得sin C2sin Acos B，因为ABC，所以sin Csin(AB)，所以sin(AB)2sin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又AB，所以AB0，即AB，所以ab2.所以ABC的面积为SABCabsin C22sin .法二：由c2acos B及余弦定理，得c2a，化简得ab，所以，ABC的面积为SABCabsin C22sin .12(2016苏北四市期末)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A，tan(AB).(1)求tan B的值；(2)若b5，求c. 【导学号：62172151】解(1)在锐角三角形ABC中，由sin A，得cos A，所以tan A.由tan(AB)，得tan B2.(2)在锐角三角形ABC中，由tan B2，得sin B，cos B，所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，由正弦定理，得c.B组能力提升(建议用时：15分钟)1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，则tan C_.因为2S(ab)2c2a2b2c22ab，则结合面积公式与余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)2在ABC中，tan 2sin C，若AB1，则ACBC的最大值为_因为tan 2sin C，所以2sin C，2sin C，2sin C.因为ABC，所以ABC，所以sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，所以2sin C.又sin C0，所以cos C，sin C，C.因为，所以ACBCsin Bsin Asinsin Asin(A)，其中0，tan ，当sin(A)1时，ACBC取得最大值.3(2017南京模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos C.(1)求角C的大小；(2)若ABC的面积为2，ab6，求边c的长解(1)由余弦定理知acos Bbcos Aab c，1，cos C，又C(0，)，C.(2)SABCabsin C2，ab8.又ab6，c2a2b22abcos C(ab)23ab12，c2.4(2016苏北四市摸底)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b4，c6，且asin B2.(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长解(1)由正弦定理，得asin Bbsin A，因