高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线教师用书 理 苏教版

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线教师用书 理 苏教版1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)表示的曲线大致是_(填序号)答案解析将方程a2x2b2y21变形为1，ab0，b0，0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理，得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点题型二弦长问题例2(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当AMAN时，求AMN的面积(2)当2AMAN时，证明：k0，由AMAN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1，得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)，得x1，故AM|x12|.由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得AN.由2AMAN，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增，又f()15260，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以kb0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左，右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E(点D与点A，B不重合)，若C点满足，连结AC交DE于点P，求证：PDPE.(1)解由e，知，所以ca，因为PF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21.(2)证明由(1)得A(2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即y1.所以直线AC的方程为，整理得y(x2)又点P在DE上，将xx0代入直线AC的方程可得y，即点P的坐标为(x0，)，所以P为DE的中点，所以PDPE.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_(2)已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_答案(1)1(2)x2y80解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.所以E的方程为1.(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015浙江)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx，解得b.由得m或m.(2)令t，则AB，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)ABd ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x1，y)再根据抛物线的定义得AF2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代入上式，得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点P(，y0)在线段BB上(B，B为直线x与椭圆的交点，如图所示)，所以yBy0yB，也即y0.所以m0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_答案解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以()240，2，e .6已知F为抛物线y28x的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则|FAFB|的值为_答案8解析依题意知F(2,0)，所以直线l的方程为yx2，联立方程，得消去y，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x212，则|FAFB|(x12)(x22)|x1x2|8.7在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点M，N的坐标分别为_答案(2,4)，(1,1)解析设直线MN的方程为yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，b.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x21，bb，由(，b)在直线yx3上，即b3，解得b2，联立解得8已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则AB的最大值为_答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么AFBFx1x22，又AFBFABAB6，当AB过焦点F时取得最大值6.9过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.10已知双曲线C：x21，直线y2xm与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为_答案(1,74)解析由可得x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设f(x)x24mxm23，则得m1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11得，的取值范围为(1,74)11.如图，定直线l的方程为x4，定点F的坐标为(1,0)，P(x，y)为平面上一动点，作PQl于Q，若PQ2PF.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过定点F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且32，求三角形OAB的面积解(1)由|x4|2，化简得轨迹E的方程为1.(2)设直线AB的方程为kyx1，与椭圆方程联立消去x得(3k24)y26ky90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)32，O(0,0)，F(1,0)，y12y2.y1，y2，k2.AB|y1y2|，又点O到直线AB的距离d，SOAB.12. (2016泰州模拟)设点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：y21(a1)的左，右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：ykxm与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1Ml，F2Nl分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值解(1)设P(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2x21c2，xa，a，由题意，得1c20，c1，则a22，椭圆C的方程为y21.(2)将直线l的方程l：ykxm代入椭圆C的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，则16k2m24(2k21)(2m22)0，化简得m22k21.设d1F1M，d2F2N.当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|MN|tan |，MN|d1d2|，S|d1d2|(d1d2)，m22k21，当k0时，|m|1，|m|2，即S2.当k0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S2.四边形F1MNF2面积S的最大值为2.13. (2015江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k