高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题2 数列 突破点4 等差数列等比数列教师用书 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题二数列建知识网络明内在联系高考点拨数列专题是高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结合近几年高考命题研究，为此本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和”两条主线展开分析和预测突破点4等差数列、等比数列(对应学生用书第167页)提炼1等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.(2)求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)(3)性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.提炼2等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法：(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明an1an(nN*)为同一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法利用定义，证明(nN*)为同一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2).提炼3数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制(2)利用数列的单调性求解，利用不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值(3)转化为关于n的不等式组求解，若求数列an的最大项，则可解不等式组若求数列an的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后，再确定取得最值的项回访1等差数列基本量的运算1(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98D97C法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C.2(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7 C9D11A法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A.法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A.回访2等比数列基本量的运算3(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42 C63D84Ba13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.4(2016全国乙卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.(对应学生用书第167页)热点题型1等差、等比数列的基本运算题型分析：以等差(比)数列为载体，考查基本量的求解，体现方程思想的应用是近几年高考命题的一个热点，题型以客观题为主，难度较小.(1)已知等比数列an的前n项和为Sn，a1a330，S4120，设bn1log3an，那么数列bn的前15项和为()A152B135 C80D16(2)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2B2 C.D(1)B(2)D(1)设等比数列an的公比为q，由a1a330，a2a4S4(a1a3)90，所以公比q3，首项a13，所以an3n，bn1log33n1n，则数列bn是等差数列，前15项的和为135，故选B.(2)由题意知S1a1，S22a11，S44a16，因为S1，S2，S4成等比数列，所以SS1S4，即(2a11)2a1(4a16)，解得a1，故选D.在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围变式训练1(1)已知在数列an中，a11，an1an3，Sn为an的前n项和，若Sn51，则n_.(2)(2016胶州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列an的公比为_(1)6(2)(1)由a11，an1an3，得an1an3，所以数列an是首项为1，公差为3的等差数列由Snn351，即(3n17)(n6)0，解得n6或n(舍)(2)由题意知S13S34S2，即a13(a1a2a3)4(a1a2)，即3a3a2，所以，即公比q.热点题型2等差、等比数列的基本性质题型分析：该热点常与数列中基本量的运算综合考查，熟知等差(比)数列的基本性质，可以大大提高解题效率.(1)(2016南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为() 【导学号：67722020】A.B. C1D2(2)(2015东北三校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S150，S160，S16160，a90，d0，故Sn最大为S8.又d0，所以an单调递减，因为前8项中Sn递增，所以Sn最大且an取最小正值时有最大值，即最大，故选C.1若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数2若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，a，仍为等比数列3公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，且公比为q.4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则.变式训练2(1)(2016沈阳模拟)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3b11等于()A16B8 C4D2(2)在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15()A1B2 C3D2或4(1)A(2)C(1)an是等差数列，a2a122a7，2a2a2a124a7a0.又a70，a74.又bn是等比数列，b3b11ba16.(2)an为等比数列，a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a112.同理a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a151.a9a11a13a15213.热点题型3等差、等比数列的证明(2016全国丙卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.1分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.2分由a10，0得an0，所以.3分因此an是首项为，公比为的等比数列，4分于是ann1.6分(2)由(1)得Sn1n.8分由S5得15，即5.10分解得1.12分判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断提醒：利用aan1an1(n2)来证明数列an为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0.变式训练3(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，2分由于an10，所以an2an.4分(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.5分由(1)知，a31.6分令2a2a1a3，解得4.7分故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3.9分a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.11分所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列.12分专题限时集训(四)等差数列、等比数列建议A、B组各用时：45分钟 A组高考达标一、选择题1(2016青岛模拟)在等比数列an中，a2a3a48，a78，则a1()A1B1 C2D2Aa2a3a4a8，所以a32，所以a7a3q48，从而q22，所以a11，故选A.2(2016福州模拟)已知数列an是等差数列，且a72a46，a32，则公差d()A2B4C8D16B法一：由题意得a32，a72a4a34d2(a3d)6，解得d4，故选B.法二：在公差为d的等差数列an中，aman(mn)d(m，nN*)由题意得解得3已知等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于() 【导学号：67722021】AB1C或1D1或A若q1，则3a16a129a1，得a10，矛盾，故q1.所以2，解得q3或1(舍)，故选A.4已知数列an，bn满足a1b13，an1an3，nN*.若数列cn满足cnban，则c2 016()A92 015B272 015C92 016D272 016D由已知条件知an是首项为3，公差为3的等差数列数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，an3n，bn3n.又cnban33n，c2 016332 016272 016，故选D.5设Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，若(nN*)，则()A.B.C.D.D根据等差数列的前n项和公式及(nN*)，可设Snkn2，Tnkn(2n1)，又当n2时，anSnSn1k(2n1)，bnTnTn1k(4n1)，所以，故选D.二、填空题6(2016长沙模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若S32a3，S515，则a2 016_.2 016在等差数列an中，由S32a3知，3a22a3，而S515，则a33，于是a22，从而其公差为1，首项为1，因此ann，故a2 0162 016.7已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是_20由等差数列的性质可得a335，a433，故d2，an35(n3)(2)412n，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得Sn达到最大值的n是20.8. 设等比数列an中，Sn是前n项和，若27a3a60，则_.28由题意可知，公比q327，1q312728.三、解答题9设数列an的前n项和为Sn，满足(1q)Snqan1，且q(q1)0.(1)求an的通项公式；(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列解(1)当n1时，由(1q)S1qa11，得a11.1分当n2时，由(1q)Snqan1，得(1q)Sn1qan11，两式相减得anqan1.5分又q(q1)0，所以an是以1为首项，q为公比的等比数列，故anqn1.6分(2)证明：由(1)可知Sn，7分又S3S62S9，得，9分化简得a3a62a9，两边同除以q得a2a52a8.11分故a2，a8，a5成等差数列.12分10(2016广州五校联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a64，S55.(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn|a1|a2|a3|an|，求T5的值和Tn的表达式解(1)由题知解得故an 2n7(nN*).5分(2)由an2n70，得n，即n3，所以当n3时，an2n70.6分易知Snn26n，S39，S55，所以T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313.8分当n3时，TnSn6nn2；当n4时，TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18.故Tn12分B组名校冲刺一、选择题1(2016河北五个一联盟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的斜率是() 【导学号：67722022】A4B3C2D1A设等差数列an的公差为d，因为S22a1d10，S5(a1a5)5(a12d)55，所以d4，所以kPQd4，故选A.2已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()A5BC5D.A根据已知得3anan1，数列an是等比数列且其公比为3，a5a7a9(a2a4a6)3393335，log(a5a7a9)log355.3(2016东北三省四市联考)如图41所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52()图41A2B8C7D4C第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41a42a433a42，同理第二行也有a51a52a533a52，第三行也有a61a62a633a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42a52a623a52，所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263，所以a527，故选C.4(2016郑州二模)设数列an满足：a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，则a20的值是()A.B.C.D.D由2nan(n1)an1(n1)an1得nan(n1)an1(n1)an1nan，又因为1a11,2a21a15，所以数列nan为首项为1，公差为5的等差数列，则20a201195，解得a20，故选D.二、填空题5(2016湖北七校2月联考)已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若Sk24(k2)，Sk0，Sk28，则k_.6由题意，得Sk2Skak1ak28，SkSk2ak1ak4(k2)，两式相减，得4d4，即d1.由Skka10，得a1，将a1代入ak1ak4，得(k1)(2k3)k24，解得k6.6(2016河北第二次大联考)数列logkan是首项为4，公差为2的等差数列，其中k0，且k1.设cnanlg an，若cn中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为_. 【导学号：67722023】(1，)由题意得logkan2n2，则ank2n2，k2，即数列an是以k4为首项，k2为公比的等比数列，cnanlg an(2n2)k2n2lg k，要使cncn1对一切nN*恒成立，即(n1)lg k1时，lg k0，n1(n2)k2对一切nN*恒成立