高中数学 第一章 导数及其应用 1_4_2 微积分基本定理课堂探究 新人教b版选修2-21

高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理课堂探究 新人教B版选修2-2探究一 利用微积分基本定理求简单的定积分1微积分基本定理是求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意y的原函数是yln x基本过程分为两步：求f(x)的原函数F(x)；计算F(b)F(a)的值2求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量，例如在定积分(x2t)dx中，积分变量是x，m和t是常数【典型例题1】 计算下列定积分：(1)xdx；(2)(1t3)dt；(3)dx；(4)(cos xex)dx；(5)(x1)2dx；(6)t2dx.思路分析：求原函数时要和求导数运算联系起来，充分借助导数公式和导数运算法则解：(1)x，xdxx2202.(2)1t3，(1t3)dt.(3)(ln x)，dxln xln 2ln 1ln 2.(4)(sin xex)cos xex，(cos xex)dx(sin xex)(01)(0e)1e.(5)(x1)2x22x1，x22x1，(x1)2dx.(6)(t2x)t2，t2dxt2xt2.探究二 利用微积分基本定理和定积分的性,质求定积分1求复杂函数定积分要依据定积分的性质(1)有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即f1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx.(2)常数因子可提到积分符号外面，即kf(x)dxkf(x)dx.(3)当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即f(x)dxf(x)dx.(4)定积分对区间的可加性，若ca，b，则有f(x)dxf(x)dxf(x)dx.2对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和3对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分4当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来例如：对于被积函数ysin 3x，其原函数应为ycos 3x，而其导数应为y3cos 3x，再如：被积函数ye2x时，其原函数是ye2x，而其导数是y2e2x.【典型例题2】 计算下列定积分：(1)f(x)dx，其中f(x)(2)|x4|dx；(3) 0sin2xdx；(4)e2xdx；(5)dx.思路分析：首先对被积函数进行恰当的化简、变形，然后再求定积分解：(1)f(x)dxx2dx4dx4x4；(2)|x4|dx(4x)dx(x4)dx224；(3)sin2xdxdx0；(4)e2xdxe4；(5) dxdx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx(cos xsin x)dx(sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x)22.探究三 利用定积分求平面图形的面积1利用定积分求平面图形的面积时，一般步骤是：画草图；求曲线的交点定出积分上、下限；确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计算2求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成平面图形的面积S.图中，f(x)0，f(x)dx0，因此面积Sf(x)dx；图中，f(x)0，f(x)dx0，因此面积Sf(x)dx；图中，当axc时，f(x)0，当cxb时，f(x)0，因此面积S|f(x)|dx(f(x)dxf(x)dx.3求由两条曲线f(x)和g(x)，直线xa，xb(ab)所围成平面图形的面积S.图中，f(x)g(x)0，面积Sf(x)g(x)dx；图中，f(x)0，g(x)0，面积Sf(x)dx|g(x)|dxf(x)g(x)dx.【典型例题3】 (1)求抛物线yx2x与x轴所围成图形的面积；(2)求曲线ycos x与两坐标轴所围成图形的面积；(3)求直线y2x3与抛物线yx2围成图形的面积思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系解：(1)由图形可知，所求面积为S|x2x|dx(xx2)dx.(2)画出曲线ycos x，由于当0x时，cos x0，x时，cos x0，故图形的面积为|cos