高中数学 第一章 统计案例 1_1 回归分析的基本思想及其初步应用课堂探究 新人教a版选修1-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课堂探究 新人教A版选修1-2探究一 求回归直线方程求回归直线方程的一般方法是：(1)作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，这样表示出的具有相关关系的两个变量的一组数据的图形就是散点图从散点图中我们可以看出样本点是否呈条状分布，从而判断两个量是否具有线性相关关系(2)求回归系数，其计算公式如下： ； .其中，(，)称为样本点的中心(3)写出回归直线方程x，并用回归直线方程进行预测说明：当x取x0时，由线性回归方程可得的值，从而可进行相应的判断【典型例题1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩思路分析：先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用公式求线性回归模型解：(1)如图所示(2)因为(8876736663)73.2，(7865716461)67.8，iyi8878766573716664636125 054，88276273266263227 174.所以 0.625， 67.80.62573.222.05.所以y对x的回归直线方程是0.625x22.05.(3)x96，则0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩是82.探究二 残差分析1利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差，来判断模型拟合的效果2若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高【典型例题2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？思路分析：求出参数 与 ，然后求出回归直线方程，再检验模型拟合效果，计算出残差，得出结论解：(1)散点图如下(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系设回归方程为x，30.36，43.5，i25 101.56，i29 511.43. 1 320.66，921.729 6，iyi6 746.76.由 0.29， 34.70，故所求的回归直线方程为 34.700.29x.当x56.7时， 34.700.2956.751.143.估计成熟期有效穗为51.143.(3)由于 xi ，可以算得yi分别为0.35，0.718，0.5，2.214，1.624，残差平方和：8.43.(4)可得：(yi)250.18，R210.832.所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约183.2%16.8%.探究三 非线性回归分析在解决实际问题时，研究的两个变量不一定都呈线性相关关系对于这类问题，常采用适当的变量代换，把问题转化为线性回归问题，求出线性回归模型后，再通过相应的变换，得到非线性回归方程【典型例题3】某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：年次x123456利润总额y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：yabxe0.其中a，b均为正数，求y关于x的回归方程思路分析：解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可解：对yabxe0两边取自然对数，得ln yln ae0xln b，令zln y，则z与x的数据如下表：x123456z2.432.472.522.572.612.67由zln ae0xln b及最小二乘法公式，得ln b0.047 7，ln ae02.378，即2.3780.047 7x，所以10.81.05x.规律小结 非线性回归方程的求法探究四 易错辨析易错点求回归方程时忽略相关性检验致误【典型例题4】在一化学反应过程中，某化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了如下表所示的8组数据，试建立y与x之间的回归方程.催化剂量x/g1518212427303336化学物质反应速度y/(g/min)6830277020565350错解：由表中数据可得25.5，95.125，i25 580，iyi24 297，所以 12.94， 95.12512.9425.5234.845，所以y与x之间的回归方程为12.94x234.845.错因分析：解题前没有审好题，原题求的是回归方程，并不是回归直线方程，故应先进行相关性检验，再求回归方程，不能盲目地求回归直线方程正解：根据收集的数据作散点图，如图所示根据样本点的分布情况，可选用指数型函数模型yc1 (c1，c2为待定的参数)，令zln y，则zc2xln c1，即变换后样本点应该分布在直线zbxa(aln c1，bc2)的周围，由y与x的数据表得z与x的数据表如下：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图，如图所示，由图可以看出变换后的样本点分布在一条直线附近，所以可用线性回归方程来拟合由表中数据可得 0.181 2， 0.848 5，故 0.181 2x0