中考数学一轮复习 第28讲《尺规作图》练习

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争2017年中考数学一轮复习第28讲尺规作图【考点解析】知识点一 基本作图【例题】 (2016年浙江丽水)用直尺和圆规作RtABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）ABCD【考点】作图复杂作图【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是RtABC斜边AB上的高线，不符合题意；B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是RtABC斜边AB上的高线，不符合题意；C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是RtABC斜边AB上的高线，不符合题意；D、无法证明CD是RtABC斜边AB上的高线，符合题意故选：D【变式】（2016广东深圳）如图，在ABCD中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_.答案：.2考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。解析：依题意，可知，BE为角平分线，所以，ABECBE，又ADBC，所以，AEBCBE，所以，AEBABE，AEAB3，ADBC5，所以，DE532。知识点二 基本作图的实际应用【例题】（2016吉林长春）如图，在ABC中，ABAC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD若AB=6，AC=4，则ACD的周长为10【考点】作图基本作图；线段垂直平分线的性质【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题【版权所有：21教育】【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，点D在直线MN上，DC=DB，ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，AB=6，AC=4，ACD的周长为10故答案为10【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把ADC的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中考常考题型【变式】（2016,湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）AEGH为等腰三角形 BEGF为等边三角形C四边形EGFH为菱形 DEHF为等腰三角形【考点】作图基本作图；线段垂直平分线的性质【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可【解答】解：A、正确EG=EH，EGH是等边三角形B、错误EG=GF，EFG是等腰三角形，若EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能C、正确EG=EH=HF=FG，四边形EHFG是菱形D、正确EH=FH，EFH是等边三角形故选B【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型【典例解析】【例题1】（2016四川广安）在数学活动课上，老师要求学生在55的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）【考点】作图相似变换【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为3，4，2的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长【解答】解：如图1，三角形的周长=2+；如图2，三角形的周长=4+2；如图3，三角形的周长=5+；如图4，三角形的周长=3+【例题2】（2016四川达州）如图，在ABCD中，已知ADAB（1）实践与操作：作BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明【考点】平行四边形的性质；作图基本作图【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出BAE=AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAE=AEB，AE平分BAD，BAE=DAE，BAE=AEB，BE=AB，由（1）得：AF=AB，BE=AF，又BEAF，四边形ABEF是平行四边形，AF=AB，四边形ABEF是菱形【中考热点】【热点1】（2016广东广州）如图，利用尺规，在的边上方做，在射线上截取，连接，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【难易】 容易【考点】 尺规作图，平行线，平行四边形【解析】 利用“等圆中，等弧所对的圆心角相等”可以完成等角的作图再利用“内错角相等”可判定两直线平行，然后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明【参考答案】证明；如图AD,CD为所做因为,所以因为所以四边形ABCD为平行四边形所以【热点2】（2016四川眉山）已知：如图ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，2）、C（2，4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度 （1）画出ABC向上平移6个单位得到的A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且A2B2C2与ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，A2坐标（2，2）【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键【热点3】（2016湖北咸宁）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取一点B（b，0），连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P. （1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上！设点P的坐标为（x，y），试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；设点P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的范围. 当d1+d2=8时，求点P的坐标；将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围. 图1 图2【考点】二次函数，一次函数，尺规作图，平面直角坐标系，勾股定理，一元二次方程，轴对称翻折，最值问题.【分析】（1）根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可，要标出字母；（2）分x0和x0两种情况讨论：当x0时，如图2，连接AP，过点P作PEy轴于点E，可得出PA=PB=y；再在RtAPE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1，由勾股定理，可求出y与x之间的关系式；当x0时，点P（x，y）同样满足y=x2+，曲线L就是二次函数y=x2+的图像，也就是说曲线L是一条抛物线.首先用代数式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=x，得出d1+d2=x2+x，可知当x=0时，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范围是d1+d2；当d1+d2=8时，则x2+x=8. 将x从绝对值中开出来，故需分x0和x0两种情况讨论：当x0时，将原方程化为x2+x=8， 解出x1，x2即可；当x0时，将原方程化为x2+x=8，解出x1，x2即可；最后将x=3代入y=x2+，求得P的纵坐标，从而得出点P的坐标.直接写出k的取值范围即可.【解答】解：（1）如图1所示（画垂直平分线，垂线，标出字母各1分）. E 图1 图2 （2）当x0时，如图2，连接AP，过点P作PEy轴于点E. l1垂直平分ABPA=PB=y.在RtAPE中，EP=OB=x，AE=OE-OA= y-1.由勾股定理，得 (y-1)2+x2=y2. 整理得，y=x2+.当x0时，点P（x，y）同样满足y=x2+. 曲线L就是二次函数y=x2+的图像.即曲线L是一条抛物线. 由题意可知，d1=x2+，d2=x. d1+d2=x2+x. 当x=0时，d1+d2有最小值. d1+d2的范围是d1+d2. 当d1+d2=8时，则x2+x=8. （）当x0时，原方程化为x2+x=8. 解得 x1=3，x2= -5（舍去）.（）当x0时，原方程化为x2+x=8. 解得 x1= -3，x2= 5（舍去）. 将x=3代入y=x2+，得 y=5. 点P的坐标为（3，5）或（-3，5）. k的取值范围是：k. 解答过程如下（过程不需写）：把y=2代入y=x2+，得x1=，x2=. 直线y=2与抛物线y=x2+两个交点的坐标为（，2）和（，2）. 当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得 k=； 当直线y=kx+3过点（，2）时，可求得 k=. 故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时，k的取值范围是：k. 【点评】本题是压轴题，综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称翻折，最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键. 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点，如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善